Касательная и секущая, исходящие из одной точки и проведенные к окружности, имеют длины 10 см и 25 см соответственно

Suzi_8444

59

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся знания о геометрии окружностей и их свойствах.

По условию, у нас есть окружность и две линии - касательная и секущая. Длины этих линий, исходящих из одной точки и проведённых к окружности, равны 10 см и 25 см соответственно. Мы должны определить длину сегмента секущей, который находится вне окружности.

Давайте разобьём задачу на несколько шагов для более понятного решения:

Шаг 1: Понимание основных понятий.
- Касательная - это прямая линия, которая касается окружности в одной точке.
- Секущая - это прямая линия, которая пересекает окружность в двух точках.

Шаг 2: Установление связи между касательной и секущей.
- Известно, что обе линии исходят из одной точки и направлены к окружности. Таким образом, они как бы "выходят" из этой точки.

Шаг 3: Определение длины сегмента секущей, находящегося вне окружности.
- Поскольку секущая пересекает окружность, она может иметь два сегмента - один внутри окружности и один вне неё.
- Мы ищем длину сегмента секущей, находящегося вне окружности.

Шаг 4: Поиск решения.
- Допустим, что точка, из которой исходят линии, называется M.
- Пусть точка пересечения секущей с окружностью, находящаяся вне окружности, называется N.
- Также обозначим точку касания касательной с окружностью как P.

- Согласно геометрическим свойствам, если касательная к окружности проведена из внешней точки, она перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку.
- Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник MNP, где NP - радиус окружности, а NM и MP - касательная и секущая линии соответственно.

- Длина секущей равна сумме длин сегментов секущей, находящихся внутри и вне окружности. Обозначим эту длину как x.
- Касательная и секущая линии пересекаются в точке P, следовательно, MP = 10 см.
- Секущая линия длиной 25 см делится на два сегмента - x (сегмент, находящийся вне окружности) и (25 - x) (сегмент, находящийся внутри окружности).

- Используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике MNP, получаем следующее уравнение:

\( NP^2 = NM^2 + MP^2 \)

\( NP^2 = x^2 + 10^2 \)

\( NP = \sqrt{x^2 + 100} \)

- Также известно, что радиус окружности равен NP.
- Поэтому радиус окружности равен \sqrt{x^2 + 100} см.

- Чтобы найти длину сегмента секущей, находящегося внутри окружности, нужно вычесть x из длины секущей:

Длина внутреннего сегмента секущей = 25 - x см.

- Теперь у нас есть два сегмента секущей: один внутри окружности и один вне неё.
- В задаче требуется найти длину сегмента секущей, находящегося вне окружности.

- Поэтому мы можем вычислить эту длину, вычтя длину внутреннего сегмента из длины секущей:

Длина сегмента секущей, находящегося вне окружности = 25 см - (25 - x) см = x см

Таким образом, мы получаем, что длина сегмента секущей, находящегося вне окружности, равна x см.

Шаг 5: Определение значения x и выбор правильного ответа.
- Обратимся к уравнению, которое мы получили ранее:

\( NP = \sqrt{x^2 + 100} \)

- Зная, что длина сегмента секущей, находящегося вне окружности, будет равна x см, мы можем записать уравнение следующим образом:

\( x = \sqrt{x^2 + 100} \)

- Это квадратное уравнение, которое можно решить для x.

- После решения уравнения и получения значения x, мы можем выбрать пункт ответа, соответствующий этому значению.

Итак, чтобы найти правильный ответ, нам необходимо решить квадратное уравнение \( x = \sqrt{x^2 + 100} \) и получить значение x. Затем, сравнивая это значение с вариантами ответов A) 5 см, B) 35 см, C) 15 см, и D) другими вариантами, мы сможем найти правильный ответ.