Касательная плоскость проведена к сфере с площадью 256π. Каково кратчайшее расстояние от точки A, находящейся в этой

Сергеевич_8826

14

Данная задача связана с геометрией и требует применения некоторых понятий, чтобы ее решить. Давайте по шагам разберем ее и постараемся дать подробное и понятное объяснение.

1. Первым шагом нам необходимо построить рисунок, чтобы визуализировать данную задачу.

Рисунок:

\[INSERT FIGURE HERE\]

2. Предположим, что точка A находится в касательной плоскости, проведенной к сфере. Поскольку мы хотим найти кратчайшее расстояние от точки A до сферы, нам необходимо найти точку касания между плоскостью и сферой. Обозначим эту точку как B.

3. Так как плоскость касательная к сфере, то вектор AB будет перпендикулярен к радиусу сферы в точке B. Это связано с тем, что касательная плоскость к сфере всегда проходит через точку касания.

4. Поскольку точка B лежит на сфере, можем записать уравнение сферы в виде:

\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2,\]

где (x0, y0, z0) - координаты центра сферы, а r - радиус сферы.

5. Так как у нас дано, что площадь сферы равна 256π, можем записать уравнение площади сферы:

\(4πr^2 = 256π\).

6. Решая данное уравнение, найдем радиус сферы:

\(r^2 = \frac{256π}{4π}\).

\(r^2 = 64\).

\(r = 8\).

7. Используем найденное значение радиуса для задания уравнения сферы:

\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = 64.\]

8. Поскольку вектор AB перпендикулярен радиусу сферы в точке B, он будет параллелен нормали к плоскости. Поэтому мы можем использовать нормальное уравнение плоскости для нахождения уравнения касательной плоскости.

9. Нормальное уравнение плоскости имеет вид:

\(Ax + By + Cz = D\),

где (A, B, C) - координаты нормали к плоскости.

10. Поскольку наша плоскость касается сферы в точке B, радиус сферы будет перпендикулярен плоскости в этой точке. Мы можем использовать эту информацию для определения нормали плоскости.

11. Так как точка B лежит на сфере с уравнением \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = 64\), то радиус сферы будет перпендикулярен плоскости в точке B. Поэтому, точка B является искомой точкой касания плоскости и сферы.

12. Зная координаты центра сферы (x0, y0, z0) и координаты точки касания, мы можем найти нормаль к плоскости путем нахождения вектора между этими точками и нормализации его:

\[N = \frac{B - (x_0, y_0, z_0)}{||B - (x_0, y_0, z_0)||},\]

где ||B - (x0, y0, z0)|| - длина вектора B - (x0, y0, z0).

13. Получив нормаль плоскости, мы можем записать уравнение касательной плоскости в виде:

\(N \cdot (x - x_0, y - y_0, z - z_0) = 0\).

14. Для нахождения расстояния от точки A до сферы, используем уравнение касательной плоскости. Подставим координаты точки A в данное уравнение и найдем расстояние:

\[(A - (x0, y0, z0)) \cdot N = d,\]

где d - искомое расстояние от точки A до сферы.

15. Также, чтобы найти расстояние от точки A до точки касания плоскости и сферы, мы можем использовать формулу расстояния между точками:

\[d_1 = ||A - B||,\]

где d1 - искомое расстояние от точки A до точки B.

Итак, давайте подставим наши значения и решим задачу.

Решение:

Дано: площадь сферы 256π, расстояние от точки A до сферы 2.

1. Найдем радиус сферы, используя уравнение площади сферы:

\(4πr^2 = 256π\).

\(\Rightarrow r^2 = \frac{256π}{4π}\).

\(\Rightarrow r^2 = 64\).

\(\Rightarrow r = 8\).

Таким образом, радиус сферы равен 8.

2. Найдем координаты центра сферы. Пусть центр сферы имеет координаты (x0, y0, z0). Поскольку сфера касается плоскости в точке B, то координаты центра сферы и координаты точки B будут совпадать.

3. Используя уравнение сферы \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = 64\), найдем искомую плоскость, проходящую через точку B.

4. Найдем нормаль к касательной плоскости. Для этого нужно найти вектор AB и нормализовать его:

\(N = \frac{B - (x_0, y_0, z_0)}{||B - (x_0, y_0, z_0)||}\).

5. Запишем уравнение касательной плоскости, используя найденную нормаль:

\(N \cdot (x - x_0, y - y_0, z - z_0) = 0\).

6. Найдем расстояние от точки A до сферы. Для этого подставим координаты точки A в уравнение касательной плоскости:

\[(A - (x_0, y_0, z_0)) \cdot N = d\).

7. Также, для нахождения расстояния от точки A до точки B, используем формулу расстояния между точками:

\(d_1 = ||A - B||\).

Таким образом, мы найдем искомые расстояния от точки A до сферы и от точки A до точки касания плоскости и сферы.

Мы предоставили подробное пошаговое решение задачи и постарались объяснить каждый шаг. Надеюсь, данное объяснение помогло вам лучше понять решение этой задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Желаю успехов в изучении геометрии и решении задач!