Найти угол между плоскостями равностороннего треугольника ABE и квадрата ABCD, у которых общая сторона AB имеет длину

Delfin_2285

32

Чтобы найти угол между плоскостями равностороннего треугольника ABE и квадрата ABCD, обозначим их соответственно как плоскость \(\alpha\) (содержит треугольник ABE) и плоскость \(\beta\) (содержит квадрат ABCD).

Для начала, нам понадобится найти вектора нормали для каждой из плоскостей. Эти векторы нормали перпендикулярны к плоскостям и могут помочь нам найти угол между ними.

Для плоскости \(\alpha\) возьмём два ненулевых вектора, например, \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AE}\). Векторное произведение этих векторов даст нам вектор нормали для плоскости \(\alpha\).

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (0,4,0) - (0,0,0) = (0,4,0)\)
\(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{A} = (2, 2\sqrt{3}, 0) - (0, 0, 0) = (2, 2\sqrt{3}, 0)\)

Теперь вычислим векторное произведение:

\(\overrightarrow{n_{\alpha}} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AE} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2\sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} = (-4\sqrt{3}, 0, 8)\)

Таким образом, вектор нормали для плоскости \(\alpha\) равен \((-4\sqrt{3}, 0, 8)\).

Теперь найдём вектор нормали для плоскости \(\beta\). Вектор нормали для квадрата ABCD будет перпендикулярен плоскости квадрата, поэтому можно использовать нормальный вектор \(\overrightarrow{k} = (0, 0, 1)\) (плоскость квадрата параллельна плоскости XY).

Теперь, используя найденные вектора нормали, можно найти угол между плоскостями с помощью скалярного произведения векторов нормали:

\(\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{n_{\alpha}} \cdot \overrightarrow{k}}{|\overrightarrow{n_{\alpha}}|\cdot|\overrightarrow{k}|}\)

Где \(\theta\) - искомый угол, \(\overrightarrow{n_{\alpha}}\) - вектор нормали для плоскости \(\alpha\), \(\overrightarrow{k}\) - вектор нормали для плоскости \(\beta\).

\(\overrightarrow{n_{\alpha}} \cdot \overrightarrow{k} = (-4\sqrt{3}, 0, 8) \cdot (0, 0, 1) = 8\)

Теперь найдём длину вектора нормали для плоскости \(\alpha\):

\( |\overrightarrow{n_{\alpha}}| = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + 0^2 + 8^2} = \sqrt{48 + 64} = \sqrt{112} = 4\sqrt{7} \)

И длину вектора нормали для плоскости \(\beta\):

\( |\overrightarrow{k}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \)

Теперь можем найти искомый угол:

\( \cos{\theta} = \frac{8}{4\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}} \)

\( \theta = \arccos{(\frac{2}{\sqrt{7}})} \approx 34.74\)

Таким образом, угол между плоскостями равностороннего треугольника ABE и квадрата ABCD составляет примерно 34.74 градуса.