Когда на часах будет первый момент времени после 9:00, когда стрелки образуют угол в 156 градусов?

Ячмень

16

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится узнать, как движутся часовая и минутная стрелки на циферблате часов. Затем мы сможем понять, когда они образуют заданный угол.

У нас есть 12 часовых делений на циферблате, а полный оборот часовой стрелки занимает 12 часов. Таким образом, каждый час часовая стрелка поворачивается на \(360^\circ / 12 = 30^\circ\). Аналогично, минутная стрелка поворачивается на \(360^\circ / 60 = 6^\circ\) за одну минуту.

Давайте представим, что минутная стрелка уже указывает на 12 (в точке 0 градусов), а часовая стрелка все еще указывает на 9. Теперь нам нужно определить, какие углы образуются между этими стрелками в течение определенного времени.

Чтобы найти заданный угол в 156 градусов, мы можем предположить, что часовая стрелка уже двигалась на некоторый угол и остановилась, тогда как минутная стрелка все еще движется. Обозначим этот угол через \(x\) (в градусах).

Часовая стрелка сделала полных оборотов вокруг циферблата (360 градусов), а добавочный угол \(x\), который мы только что предположили. Таким образом, общий угол, пройденный часовой стрелкой, можно записать как \(360^\circ + x\).

Минутная стрелка двигалась тоже некоторое время, например, \(t\) минут. За это время она сделает полный оборот вокруг циферблата (360 градусов), а также некоторый угол, вызванный углом часовой стрелки \(x\). Таким образом, общий угол, пройденный минутной стрелкой, можно записать как \(360^\circ + 6^\circ \times t + x\).

Согласно условию задачи, угол между стрелками должен быть равен 156 градусам. То есть, мы имеем уравнение:

\[360^\circ + 6^\circ \times t + x - (360^\circ + x) = 156^\circ\]

Сокращаем подобные члены и упрощаем уравнение:

\[6^\circ \times t = 156^\circ\]

Делим обе части уравнения на 6:

\[t = \frac{156^\circ}{6^\circ} = 26\]

Получаем, что минутная стрелка должна пройти 26 минут, чтобы образовался заданный угол. Но нам необходимо узнать, когда это произойдет после 9:00.

Так как часовая стрелка движется на 30 градусов в час, умножим эту величину на \(t\) и получим, какой угол она пройдет:

\(30^\circ \times t = 30^\circ \times 26 = 780^\circ\)

Теперь, чтобы определить конкретное время, прибавим 780 градусов к углу часовой стрелки, который соответствует 9:00:

\(780^\circ + 270^\circ = 1050^\circ\)

Таким образом, первый момент времени после 9:00, когда стрелки образуют угол в 156 градусов, будет в \(1050^\circ\) после 9:00. Получается, что это будет \textbf{14:30}.