Коло радіусом 40 см вписано у прямокутну трапецію з основами 5 дм і 8 дм. Обчислити її площу

Янтарка

5

Для решения этой задачи, нам нужно воспользоваться свойством касательных, проведенных к точкам касания внутренней окружности с трапецией.

Давайте обозначим точки касания окружности с трапецией следующим образом:

Точка касания радиуса \(R\) с продолжением боковой стороны трапеции обозначается как \(A\),
Точка касания радиуса \(R\) с продолжением основы трапеции обозначается как \(B\),
Точка касания радиуса \(R\) с продолжением боковой стороны трапеции обозначается как \(C\),
Точка касания радиуса \(R\) с продолжением основы трапеции обозначается как \(D\).

Так как радиус окружности является радиусом вписанной окружности, он перпендикулярен к сторонам трапеции.

Получаем, что \(AC = BD = 40\) см.

Теперь мы знаем, что \(AC = 40\) см, \(AB = 5\) дм и \(CD = 8\) дм.

Так как \(AB = 5\) дм, то \(BC = 5 - 2 \times 40 = 5 - 80 = -75\) см. Однако, длина не может быть отрицательной, значит, мы ошиблись в расчетах. \(BC\) не может быть отрицательным, следовательно, она равна \(AC - AB = 40 - 5 = 35\) см.

Аналогично, так как \(CD = 8\) дм, то \(AD = CD = 8\) дм.

Теперь зная длины всех сторон трапеции, можем найти ее площадь:

\[S = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times R = \frac{1}{2} \times (5 + 8) \times 40 = \frac{1}{2} \times 13 \times 40 = 260\, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции равна 260 см².