Коля и Ира применили свои правила уменьшения к дроби 2018/2019 двадцать раз и получили дробь с числителем 1966

Moroznyy_Voin

54

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Пусть исходная дробь равна \(\frac{2018}{2019}\).
2. Коля и Ира применили свои правила "уменьшения" к этой дроби 20 раз и получили новую дробь с числителем 1966. Обозначим эту дробь как \(\frac{1966}{x}\), где \(x\) - искомый знаменатель.
3. Мы хотим найти значение \(x\).
4. Каждое применение правила "уменьшения" состоит в вычитании одного и того же числа из числителя и знаменателя дроби. Значит, мы можем записать условие задачи в виде следующей линейной системы уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{2018 - a}{2019 - a} = \frac{1966}{x} \\
a_1 + a_2 + \ldots + a_{20} = x
\end{cases}
\]

Здесь \(a\) - число, которое вычиталось при каждом применении правила "уменьшения", а \(a_1, a_2, \ldots, a_{20}\) - значения \(a\) для каждого из 20 применений правила.
5. Найдем \(a\) из первого уравнения:

\[
\frac{2018 - a}{2019 - a} = \frac{1966}{x}
\]

Умножим обе части на \((2019-a)\):

\[
2018 - a = \frac{1966(2019 - a)}{x}
\]

Раскроем скобку:

\[
2018 - a = \frac{3973654 - 1966a}{x}
\]

Умножим обе части на \(x\):

\[
2018x - ax = 3973654 - 1966a
\]

Перенесем все члены с \(a\) в одну часть:

\[
2018x + 1966a = ax + 3973654
\]

Упростим:

\[
2018x + 1966a - ax = 3973654
\]

\[
2018x - ax = 3973654 - 1966a
\]

Вынесем \(a\) за скобку:

\[
a(2018 - x) = 3973654 - 2018x
\]

6. Теперь найдем \(x\) из второго уравнения:

\[
a_1 + a_2 + \ldots + a_{20} = x
\]

Значения \(a_1, a_2, \ldots, a_{20}\) неизвестны, поэтому мы не можем решить это уравнение в общем виде. Однако, мы можем решить его для \(a = 0\) (то есть, предположить, что правило "уменьшения" не было применено) и затем проверить, является ли это решение подходящим.

7. Подстановка \(a = 0\) во второе уравнение дает:

\[
a_1 + a_2 + \ldots + a_{20} = x
\]

\[
0 + 0 + \ldots + 0 = x
\]

\[
0 = x
\]

Таким образом, в случае, когда правило "уменьшения" не применялось вовсе, значение \(x\) равно 0.

8. Теперь мы должны проверить, выполняется ли первое уравнение при \(a = 0\) и \(x = 0\). Подставляя эти значения в первое уравнение, получим:

\[
\frac{2018 - 0}{2019 - 0} = \frac{1966}{0}
\]

\[
\frac{2018}{2019} = \frac{1966}{0}
\]

Это несостоятельное уравнение, так как деление на ноль неопределено. Значит, решение \(x = 0\) не подходит.

9. У нас нет информации о значениях \(a_1, a_2, \ldots, a_{20}\), чтобы подобрать конкретное значение \(x\). Поэтому заключаем, что не существует одного определенного значения \(x\), которое удовлетворяло бы условию задачи.