Коля и Оля делают ошибки при сокращении дробей. У Коли ошибка заключается в вычитании 3 из числителя и

Золотой_Горизонт

39

Давайте начнем с анализа ошибок, которые допустили Коля и Оля при сокращении дробей.

У Коли ошибка заключается в том, что он вычитает 3 из числителя и 4 из знаменателя. Поэтому, если изначально у нас была дробь \(\frac{a}{b}\), после первой ошибки у Коли получится \(\frac{a-3}{b-4}\).

У Оли ошибка заключается в том, что она вычитает 2 из числителя и 3 из знаменателя. Поэтому, после первой ошибки у Оли получится \(\frac{a-2}{b-3}\).

Теперь давайте разберемся, что происходит после 15 ошибок Коли и Оли. Если после i ошибок у Коли и Оли получается дробь \(\frac{a_i}{b_i}\), то после следующей ошибки у Коли получится \(\frac{a_i-3}{b_i-4}\), а у Оли - \(\frac{a_i-2}{b_i-3}\).

Мы знаем, что итоговая дробь после всех 15 ошибок имеет знаменатель 1968. То есть, \(b_{15} = 1968\).

Теперь нам нужно найти числитель получившейся дроби. Обозначим его как \(a_{15}\).

Для начала напишем общую формулу для \(a_i\) и \(b_i\) при i-ой ошибке.

\[a_i = a_{i-1} - 3\]
\[b_i = b_{i-1} - 4\]

Теперь мы можем найти \(a_{15}\) и \(b_{15}\). Вспомним, что у нас начальная дробь была \(\frac{2019}{2018}\). Она является \(a_0\) и \(b_0\).

Используя наши формулы, мы можем вычислить значения \(a_{15}\) и \(b_{15}\) поочередно подставив значения \(a_{14}\) и \(b_{14}\) в формулу для \(a_{15}\) и \(b_{15}\), и так далее, пока не дойдем до \(a_0\) и \(b_0\).

Таким образом, мы найдем значение числителя \(a_{15}\) получившейся дроби.

\[
\begin{align*}
b_{15} &= b_{14} - 4 \\
b_{14} &= b_{13} - 4 \\
&\vdots \\
b_1 &= b_0 - 4 \\
\end{align*}
\]

Теперь мы знаем значение \(b_0\), поэтому можем вычислить \(b_1\), а затем последовательно вычислить \(b_{15}\).

Давайте начнем с вычисления \(b_1\).

\[b_1 = b_0 - 4 = 2018 - 4 = 2014\]

Теперь вычислим \(b_2\).

\[b_2 = b_1 - 4 = 2014 - 4 = 2010\]

Продолжим подстановку значений и вычисления до тех пор, пока не найдем \(b_{15}\).

\[
\begin{align*}
b_3 &= b_2 - 4 = 2010 - 4 = 2006 \\
b_4 &= b_3 - 4 = 2006 - 4 = 2002 \\
&\vdots \\
b_{15} &= b_{14} - 4 = 1968
\end{align*}
\]

Таким образом, мы нашли \(b_{15}\) и оно равно 1968.

Теперь нам нужно найти \(a_{15}\). Мы знаем, что начальная дробь была \(\frac{2019}{2018}\), поэтому \(a_0 = 2019\).

Теперь, используя формулы \(a_i = a_{i-1} - 3\) и значения \(a_0 = 2019\) и \(b_0 = 2018\), мы можем последовательно вычислить \(a_{15}\).

\[
\begin{align*}
a_1 &= a_0 - 3 = 2019 - 3 = 2016 \\
a_2 &= a_1 - 3 = 2016 - 3 = 2013 \\
&\vdots \\
a_{15} &= a_{14} - 3
\end{align*}
\]

Подставим значения и продолжим вычисления.

\[
\begin{align*}
a_2 &= a_1 - 3 = 2013 - 3 = 2010 \\
a_3 &= a_2 - 3 = 2010 - 3 = 2007 \\
a_4 &= a_3 - 3 = 2007 - 3 = 2004 \\
&\vdots \\
a_{15} &= a_{14} - 3 = ?
\end{align*}
\]

Таким образом, нам осталось только вычислить значение \(a_{15}\).

Теперь мы знаем, что \(b_{15} = 1968\) и \(a_{15}\) равно результату вычислений, когда мы проделываем операцию \(a_{14} - 3\), где \(a_14 = 2004\).

\[a_{15} = a_{14} - 3 = 2004 - 3 = 2001\]

Таким образом, числитель получившейся дроби равен 2001.

Ответ: числитель получившейся дроби равен 2001.