Кожне ребро тетраедра має довжину 3 см. Визначте відстань від вершини тетраедра до протилежної грані. У мене

Мария

24

Щоб знайти відстань від вершини тетраедра до протилежної грані, нам потрібно визначити висоту тетраедра.

Так як у нас є рівносторонній тетраедр, то можемо скористатись формулою для об"єму рівностороннього тетраедра:

\[V = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}\]

де \(V\) - об"єм, \(a\) - довжина ребра. Підставляючи відомі значення, отримуємо:

\[V = \frac{3^3}{6\sqrt{2}} = \frac{27}{6\sqrt{2}} = \frac{9}{2\sqrt{2}} = \frac{9}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{4}\]

Отже, об"єм тетраедра дорівнює \(\frac{9\sqrt{2}}{4}\).

Тепер знаходимо площу основи тетраедра. Так як тетраедр рівносторонній, а площа рівностороннього трикутника дорівнює \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\), то можна записати:

\[S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 9 = \frac{9\sqrt{3}}{4}\]

Тепер можемо визначити висоту тетраедра. По відомим значенням площі і об"єму можна врахувати, що

\[V = \frac{1}{3}Sh\]

Підставляємо відомі значення і знаходимо висоту \(h\):

\[\frac{9\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot h\]

Знаходимо \(h\):

\[h = \frac{\frac{9\sqrt{2}}{4}}{\frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\]

Отже, висота тетраедра дорівнює \(\frac{\sqrt{6}}{3}\).

Оскільки ми визначили висоту, можемо визначити відстань від вершини тетраедра до протилежної грані, використовуючи теорему Піфагора. Знаходимо:

\[d = \sqrt{a^2 - h^2}\]

Підставляємо відомі значення:

\[d = \sqrt{3^2 - \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2} = \sqrt{9 - \frac{6}{9}} = \sqrt{9 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{27}{3} - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{25}{3}} = \sqrt{\frac{25}{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5\]

Отже, відстань від вершини тетраедра до протилежної грані дорівнює 5 см.

Слід зазначити, що відповідь, яку ви навели - \(\sqrt{6}\) см, є некоректною. Правильна відповідь - 5 см.