1. Найдите отрезок ef и площадь треугольника def, если стороны de и df равны соответственно 2 см и 4 см, а угол d равен

Паровоз

8

Задача 1:
1. Найдем отрезок \(ef\):
У нас есть стороны треугольника \(de = 2\) см, \(df = 4\) см и угол \(d = 50^\circ\).
Используем теорему косинусов:
\[ef^2=de^2+df^2-2 \cdot de \cdot df \cdot \cos(d)\]
\[ef^2=2^2+4^2-2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos(50^\circ)\]
\[ef^2=4+16-16 \cdot \cos(50^\circ)\]
\[ef^2=20-16 \cdot \cos(50^\circ)\]
\[ef^2=20-16 \cdot 0.64279\]
\[ef^2\approx 10.458\]
\[ef\approx \sqrt{10.458}\]
\[ef\approx 3.234 \text{ см}\]

2. Найдем площадь треугольника \(def\):
Используем формулу для площади треугольника через стороны и угол между ними:
\[S = \frac{1}{2} \cdot de \cdot df \cdot \sin(d)\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin(50^\circ)\]
\[S = 4 \cdot \sin(50^\circ)\]
\[S \approx 4 \cdot 0.76604\]
\[S \approx 3.06416 \text{ см}^2\]

Задача 2:
Площадь окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равна радиусу окружности, умноженному на полупериметр треугольника. Радиус окружности будет равен половине периметра треугольника минус сумма катетов треугольника, деленная на 2.
Радиус окружности:
\[r = \frac{\text{полупериметр}}{2} - \frac{a + b}{2},\] где \(a = 8\) см, \(b = 6\) см.
\[r = \frac{8 + 6 + \sqrt{8^2 + 6^2}}{2} - \frac{8 + 6}{2}\]
\[r = \frac{20 + 10}{2} - \frac{14}{2} = \frac{30}{2} - 7 = 15 - 7 = 8\] см.

Площадь окружности:
\[S = \pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi \approx 201.06\] см\(^2\).

Задача 3:
Для того чтобы подтвердить, что треугольник \(abc\) является равнобедренным, нужно проверить, равны ли длины сторон \(ab\) и \(ac\). Равнобедренный треугольник также имеет равные углы при основании, так что мы можем также проверить углы треугольника.
Длина медианы, проведенной к основанию \(a\) треугольника \(abc\) может быть найдена по формуле:
\[m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2},\] где \(a = bc\), \(b = ac\), \(c = ab\).
Подставим известные значения:
\[m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 2^2 - 2^2}\]
\[m_a = \frac{1}{2} \sqrt{32 + 8 - 4}\]
\[m_a = \frac{1}{2} \sqrt{36}\]
\[m_a = \frac{1}{2} \cdot 6\]
\[m_a = 3.\]
Итак, длина медианы равна \(3\) единицам длины.