Лягушонок Билли сидел на камне и наслаждался видом заката, когда он почувствовал голод. Оглядевшись, он удивленно

Золотой_Рай_2179

49

количество энергии в зависимости от расстояния до нее. У Билли есть ресурс энергии, который можно использовать для высовывания языка. Задача состоит в том, чтобы определить, какое наибольшее количество мошек Билли может съесть, если известно, что для каждого сантиметра высунутого языка он тратит 1 единицу энергии.

Для начала, давайте введем некоторые обозначения, чтобы сформулировать задачу более строго. Пусть длина ручья будет равна \(L\) сантиметров, а позиция Билли на ручье будет обозначена как \(x\), где \(x = 0\) соответствует положению камня, а отрицательные значения \(x\) означают расстояние слева от камня, а положительные значения - расстояние справа от камня.

Теперь разберемся с самим решением задачи. Для начала, давайте рассмотрим случай, когда \(L = 0\), то есть ручей состоит только из камня, и мошек вообще нет. В этом случае Билли не может съесть ни одну мошку, так как они отсутствуют.

Теперь рассмотрим случай, когда \(L > 0\) и есть мошки на ручье. Давайте разберемся, сколько мошек Билли может съесть, начиная с определенного положения \(x\).

Изначально, Билли находится в положении \(x = 0\) и может съесть мошку, находящуюся на этом же месте (\(x = 0\)), потратив на это 0 единиц энергии. Затем он может двигаться влево или вправо, высовывая язык и тратя энергию. Давайте рассмотрим два случая:

1. Движение влево:
Если он решит двигаться влево, он будет тратить энергию на каждый сантиметр, пока не достигнет границы ручья или мошки. Таким образом, чтобы определить максимальное количество мошек, которое Билли может съесть, начиная с положения \(x\), мы должны проанализировать, сколько мошек находится в интервале от начальной позиции \(x\) до самой левой мошки или границы ручья. Обозначим это количество как \(n_{\text{left}}\).

2. Движение вправо:
Аналогично, если Билли решит двигаться вправо, он будет тратить энергию на каждый сантиметр, пока не достигнет границы ручья или мошки. Чтобы определить максимальное количество мошек, которое Билли может съесть, начиная с положения \(x\), мы должны проанализировать, сколько мошек находится в интервале от начальной позиции \(x\) до самой правой мошки или границы ручья. Обозначим это количество как \(n_{\text{right}}\).

Теперь, чтобы определить максимальное количество мошек, которое Билли может съесть, начиная с положения \(x\), мы выбираем максимум между \(n_{\text{left}}\) и \(n_{\text{right}}\), так как выбираем путь, который позволит съесть больше мошек. Формально, максимальное количество мошек обозначим как \(n_{\text{max}}(x)\), такое что:

\[n_{\text{max}}(x) = \max\left(n_{\text{left}}, n_{\text{right}}\right)\]

Теперь мы можем решить задачу для любого начального положения \(x\), найдя \(n_{\text{max}}(x)\) для каждого значения \(x\) от -L до L.

Полный ответ на задачу будет представлен в виде таблицы, в которой каждому значению \(x\) от -L до L будет соответствовать максимальное количество мошек, которое Билли может съесть, начиная с этой позиции. Приведу пример таблицы для ручья длиной \(L = 5\):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & n_{\text{max}}(x) \\
\hline
-5 & 3 \\
\hline
-4 & 2 \\
\hline
-3 & 1 \\
\hline
-2 & 2 \\
\hline
-1 & 3 \\
\hline
0 & 4 \\
\hline
1 & 3 \\
\hline
2 & 2 \\
\hline
3 & 1 \\
\hline
4 & 2 \\
\hline
5 & 3 \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, Билли может съесть максимальное количество мошек, равное 4, когда он находится на самом камне (\(x = 0\)), а также когда он находится на позициях \(x = \pm 1\).

Обоснование решения основано на принципе жадности: Билли всегда выбирает направление, которое позволяет съесть максимальное количество мошек при текущем положении. Изначально мы не знаем, насколько это оптимальное решение, но наше решение будет оптимальным, так как мы рассматриваем все возможные варианты движения Билли по ручью.