Масса тонкой титановой сферы, измеренная с погрешностью в 0.5 грамма, составляет 296.6 грамма. Результаты прямых

Denis_7536

59

Чтобы решить данную задачу, мы сначала найдем среднее значение измерений диаметра сферы. Затем, зная массу и плотность титана, мы сможем вычислить объем и радиус сферы. После этого, опираясь на формулу для площади поверхности сферы, найдем значение толщины сферы. Наконец, мы рассчитаем погрешность измерений с помощью метода распространения погрешности. Давайте это сделаем пошагово.

1. Найдем средний диаметр сферы:
\[ \text{Средний диаметр} = \frac{{19.8 + 20.7 + 21.0 + 19.5 + 20.4 + 21.6}}{6} = 20.833 \, \text{мм} \]

2. Переведем средний диаметр в радиус, разделив его на 2:
\[ \text{Радиус} = \frac{{20.833 \, \text{мм}}}{2} = 10.4165 \, \text{мм} \]

3. Для вычисления объема сферы используем формулу:
\[ \text{Объем} = \frac{4}{3} \pi \times \text{Радиус}^3 \]
\[ \text{Объем} = \frac{4}{3} \times 3.1415 \times (10.4165 \, \text{мм})^3 = 5709.54 \, \text{мм}^3 \]

4. Переведем объем в сантиметры кубические:
\[ \text{Объем} = 5709.54 \, \text{мм}^3 = 5.70954 \, \text{см}^3 \]

5. Рассчитаем массу сферы, используя плотность титана:
\[ \text{Масса} = \text{Объем} \times \text{Плотность} \]
\[ \text{Масса} = 5.70954 \, \text{см}^3 \times 4.55 \, \text{г/см}^3 = 26.01 \, \text{г} \]

6. Теперь мы можем рассчитать толщину сферы. Площадь поверхности сферы можно выразить через радиус и толщину следующим образом:
\[ \text{Площадь} = 4 \pi ( \text{Радиус} + \text{Толщина} )^2 \]
Раскурим скобки:
\[ \text{Площадь} = 4 \pi ( (10.4165 \, \text{мм}) + \text{Толщина} )^2 \]
Подставим известные значения и получим уравнение относительно толщины.
\[ 296.6 = 4 \times 3.1415 \times (10.4165 + \text{Толщина})^2 \]

7. Решим полученное уравнение для толщины сферы. После решения получится, что \(\text{Толщина} = -4.1565\) мм или \(\text{Толщина} = 1.1565\) мм. Мы можем отбросить отрицательное значение толщины, так как такой результат не имеет физического смысла. Таким образом, толщина сферы составляет \(1.1565\) мм.

8. Наконец, рассчитаем погрешность измерений. Погрешность измерения объема сферы зависит от погрешности измерения диаметра и радиуса. Мы можем использовать метод распространения погрешности, чтобы найти погрешность измерения толщины. Формула для погрешности измерения толщины будет следующей:
\[ \text{Погрешность} = \left| \frac{{\partial \text{Толщина}}}{{\partial \text{Радиус}}} \right| \times \text{Погрешность Радиуса} \]
Расчитаем погрешность:
\[ \left| \frac{{\partial \text{Толщина}}}{{\partial \text{Радиус}}} \right| = 1 \]
Подставляем в формулу погрешности:
\[ \text{Погрешность} = 1 \times 0.2 \, \text{мм} = 0.2 \, \text{мм} \]

Таким образом, мы получаем, что толщина сферы составляет \(1.1565\) мм, а погрешность измерения равна \(0.2\) мм.