MNKL является прямоугольной трапецией. Какова площадь квадрата NKLQ, если угол MNK равен 150°, а длина MN равна

Lyubov_3666

10

Чтобы найти площадь квадрата NKLQ, нам необходимо знать длину его стороны. Давайте разберемся, как найти эту длину.

Изначально, нам информируют о том, что MNKL является прямоугольной трапецией и угол MNK равен 150°. Для удобства, давайте визуализируем данную ситуацию.

\[
\begin{array}{ccccccc}
& & & M & & & \\
& & & | & & & \\
& & & | & & & \\
N & ----- & K & ----- & L & ----- & Q \\
& & & & & & \\
& & & & & & \\
\end{array}
\]

Угол MNK имеет значение 150°.

Теперь обратим внимание, что у трапеции MNKL параллельные стороны MN и KL. Из данного факта следует, что дополнительный угол NKL будет также 150°.

Так как сумма углов в четырехугольнике равна 360°, мы можем вычислить угол MKL:

\[ 360° - \angle MNK - \angle NKL - \angle LKM = 360° - 150° - 150° - 90° = 60°\]

Теперь, поскольку у нас есть угол MKL, мы можем найти любую из сторон трапеции MNKL. В нашем случае, дана длина стороны MN, которая равна 46 см.

Мы знаем, что сторона KL параллельна стороне MN, а потому также равна 46 см.

Теперь у нас есть все данные, чтобы продолжить и найти сторону квадрата NKLQ.

Так как LM является биссектрисой угла MKL, то нам известно, что треугольник LMK является равнобедренным треугольником.

То есть, сторона LK равна стороне KL, а значит, равна 46 см.

Так как сторона LK является диагональю квадрата NKLQ, она делит его на два прямоугольных треугольника.

Зная, что угол MKL равен 60° и сторона LK равна 46 см, мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти сторону квадрата NKLQ.

Применим тангенс угла MKL:

\[
\tan(\angle MKL) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}}
\]

В данном случае, противолежащим катетом будет сторона NQ (нужная нам сторона), а прилежащим катетом будет половина диагонали LK. Давайте обозначим диагональ LK как D.

Тогда тангенс угла MKL будет иметь следующий вид:

\[
\tan(60°) = \frac{{\text{{сторона NQ}}}}{{\frac{1}{2} D}}
\]

Мы знаем, что D равно длине стороны LK, или 46 см.

Получаем:

\[
\tan(60°) = \frac{{\text{{сторона NQ}}}}{{\frac{1}{2} \times 46}}
\]

Давайте найдем значение тангенса 60°:

\[
\tan(60°) = \sqrt{3}
\]

Теперь мы можем решить уравнение для стороны NQ:

\[
\sqrt{3} = \frac{{\text{{сторона NQ}}}}{{\frac{1}{2} \times 46}}
\]

Перемножим обе стороны и решим уравнение:

\[
\sqrt{3} \times \frac{1}{2} \times 46 = \text{{сторона NQ}}
\]

\[
23\sqrt{3} = \text{{сторона NQ}}
\]

Таким образом, площадь квадрата NKLQ равна:

\[
\text{{Площадь}} = (\text{{сторона NQ}})^2 = (23\sqrt{3})^2 = 529 \cdot 3 = 1587 \, \text{{см}}^2
\]

Итак, площадь квадрата NKLQ составляет 1587 квадратных сантиметров.