Может ли на доске остаться число 19 после игры, где выбираются два числа, и записывается модуль их разности на доске?

Жужа

51

Конечно! Давайте решим эту задачу вместе.

Пусть у нас есть два числа, \( a \) и \( b \), которые мы будем выбирать. Затем мы записываем на доске модуль их разности, что обозначим как \( |a - b| \).

Сначала давайте рассмотрим, что произойдет, если мы выберем два одинаковых числа. Пусть \( a = b \). В таком случае, \( |a - b| = |a - a| = 0 \). То есть, при выборе одинаковых чисел, на доске останется число 0.

Далее, рассмотрим ситуацию, когда выбранные числа разные. Пусть \( a \neq b \). В этом случае, \( |a - b| \) будет больше нуля. Например, если мы выберем числа 10 и 7, то \( |10 - 7| = |3| = 3 \).

Мы можем заметить, что если \( a \) и \( b \) разные, то расстояние между этими числами будет больше, чем ноль. И если мы продолжим выбирать разные числа, то каждый раз на доске будет оставаться число, которое больше предыдущего. Это связано с тем, что модуль разности двух разных чисел всегда положителен, и поэтому получится последовательность чисел, которая будет увеличиваться.

Таким образом, если мы продолжим выбирать два разных числа и записывать модуль разности на доске, то на доске никогда не останется число 19. Оно может быть получено только в результате выбора двух одинаковых чисел.