Может ли направление скоростей шаров V1 и V2 быть такими, как показано на рисунке 2 (а и б), после соударения шара

Зайка

26

Для ответа на этот вопрос нужно вспомнить законы сохранения импульса и кинетической энергии при движении тел.

Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы тел до соударения равна сумме импульсов системы тел после соударения, если на систему не действуют внешние силы. Запишем этот закон в математической форме:

\[m_1 \cdot V_1 + m_2 \cdot V_2 = m_1 \cdot V_1" + m_2 \cdot V_2"\]

где \(m_1\) и \(m_2\) - массы шаров, \(V_1\) и \(V_2\) - начальные скорости шаров, \(V_1"\) и \(V_2"\) - конечные скорости шаров.

Закон сохранения кинетической энергии утверждает, что сумма кинетических энергий системы тел до соударения равна сумме кинетических энергий системы тел после соударения. Выглядит он так:

\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot V_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot V_2^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot (V_1")^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot (V_2")^2\]

Теперь давайте проанализируем случаи, показанные на рисунке 2:

а) В этом случае шар массой \(m_1\) движется слева направо со скоростью \(V\), а шар массой \(m_2\) покоится. Предположим, что после соударения шары поменяют свои скорости. То есть \(V_1" = V_2\) и \(V_2" = V_1\). Подставим эти значения в уравнения сохранения импульса и кинетической энергии:

\[m_1 \cdot V + m_2 \cdot 0 = m_1 \cdot V_1" + m_2 \cdot V_2"\]
\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot V^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot 0 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot (V_1")^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot (V_2")^2\]

С учетом того, что \(V_1" = V_2\) и \(V_2" = V_1\), мы получим:

\[m_1 \cdot V = m_1 \cdot V_1" + m_2 \cdot V_2"\]
\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot V^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot (V_1")^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot (V_2")^2\]

Уравнения подчеркивают, что в случае а), если шары поменяют свои скорости, то законы сохранения не выполняются. Следовательно, направление скоростей шаров V1 и V2, как показано на рисунке 2a, невозможно после соударения шаров массой \(m_1\) и \(m_2\).

б) В этом случае шар массой \(m_1\) движется слева направо со скоростью \(V\), а шар массой \(m_2\) покоится. Предположим, что после соударения шары не меняют свои скорости. То есть \(V_1" = V_1\) и \(V_2" = 0\). Подставим эти значения в уравнения сохранения импульса и кинетической энергии:

\[m_1 \cdot V + m_2 \cdot 0 = m_1 \cdot V_1" + m_2 \cdot V_2"\]
\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot V^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot 0 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot (V_1")^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot (V_2")^2\]

С учетом того, что \(V_1" = V_1\) и \(V_2" = 0\), мы получим:

\[m_1 \cdot V = m_1 \cdot V_1" + m_2 \cdot V_2"\]
\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot V^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot (V_1")^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot (V_2")^2\]

Уравнения показывают, что в случае б), если шары не меняют свои скорости, то законы сохранения выполняются. Таким образом, направление скоростей шаров V1 и V2, как показано на рисунке 2б, возможно после соударения шаров массой \(m_1\) и \(m_2\).

Итак, ответ на задачу: направление скоростей шаров V1 и V2 может быть таким, как показано на рисунке 2а) только в случае б), поэтому ответом является вариант 1) это возможно только в случае б).