Можете, пожалуйста, решить следующие вопросы: а) Определите координаты точки, в которой проведенная к графику функции

Lev_6589

27

Конечно! Давайте решим эту задачу по порядку.

а) Для начала, нам нужно найти точку касания касательной с графиком функции \(y = 2x^3 - 6x^2 - 19x + 20\), где касательная образует угол 135 градусов с положительным направлением оси \(x\).

Для того чтобы найти координаты точки, мы можем воспользоваться производной функции. Производная функции показывает наклон касательной в каждой точке графика функции.

Вычислим производную функции \(y = 2x^3 - 6x^2 - 19x + 20\):

\[y" = \frac{{dy}}{{dx}} = 6x^2 - 12x - 19\]

Теперь мы можем найти точку касания, используя следующие шаги:

1. Найдем точку, в которой \(y"\) равно тангенсу угла 135 градусов. Тангенс 135 градусов равен \(\tan(135^\circ) = -1\).
2. Подставим \(-1\) в выражение для производной и найдем значение \(x\), где \(y"\) равно \(-1\):

\[6x^2 - 12x - 19 = -1\]

Перепишем уравнение:

\[6x^2 - 12x - 18 = 0\]

Далее, решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена:

\[x_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

Где \(a = 6\), \(b = -12\), и \(c = -18\).

Расчитав значения, получаем:

\[x_1 = 3\] или \[x_2 = -1\]

3. Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого найденного значения \(x\).

Подставим \(x_1 = 3\) в исходную функцию \(y = 2x^3 - 6x^2 - 19x + 20\):

\[y = 2 (3)^3 - 6 (3)^2 - 19 (3) + 20 = 2 (27) - 6 (9) - 19 (3) + 20 = 54 - 54 - 57 + 20 = -37\]

Поэтому первая точка касания имеет координаты \((3, -37)\).

Теперь подставим \(x_2 = -1\) в функцию:

\[y = 2 (-1)^3 - 6 (-1)^2 - 19 (-1) + 20 = 2 (-1) - 6 (1) + 19 + 20 = -2 - 6 + 19 + 20 = 31\]

Вторая точка касания имеет координаты \((-1, 31)\).

Таким образом, точки, где касательная образует угол 135 градусов с положительным направлением оси \(x\), имеют координаты \((3, -37)\) и \((-1, 31)\).

б) Чтобы составить уравнение для касательной, мы можем использовать найденные координаты точки касания и значение производной \(y"\) в этой точке.

Выберем одну из точек, например, \((3, -37)\), и подставим ее в формулу для уравнения касательной:

\[y - y_1 = y"(x - x_1)\]

Подставляя значения, получаем:

\[y - (-37) = (-1)(x - 3)\]

Упростим:

\[y + 37 = -x + 3\]

Перепишем в стандартной форме, чтобы получить окончательное уравнение касательной:

\[y = -x - 34\]

Таким образом, уравнение касательной для данного графика функции в точке \((3, -37)\) является \(y = -x - 34\).