Можно ли доказать, что на любой шахматной доске, где каждая клетка окрашена в черный и белый цвет в произвольном

Блестящий_Тролль_9821

29

Да, можно доказать, что на любой шахматной доске найдется такой набор клеток, образующих прямоугольник, у которого вершины состоят только из этих клеток. Данное утверждение называется Теоремой Ван дер Вардена или Принципом Дирихле.

Для простоты обозначим черные клетки как "ч" и белые клетки как "б". Предположим, что на доске размером \(m\) x \(n\) все клетки окрашены и не образуют такого прямоугольника.

Рассмотрим первый столбец доски с \(m\) клетками. В нем есть только два возможных цвета клеток: "ч" или "б". По Принципу Дирихле в столбце обязательно найдется две клетки одного цвета. Без ограничения общности, предположим, что это клетки с цветом "ч".

Теперь рассмотрим все возможные комбинации столбцов с тем же самым цветом "ч". Для каждой комбинации имеется область в доске, где все столбцы имеют такую же комбинацию клеток цвета "ч".

Так как всего возможных комбинаций столбцов равно \(2^n\) (потому что каждый столбец может быть либо "ч", либо "б"), а количество столбцов равно \(m\), то область, в которой все столбцы имеют одинаковую комбинацию цветов, имеет ширину не меньше \(\frac{m}{2^n}\).

Теперь рассмотрим первую строку внутри области (под ними), состоящую из \(n\) клеток. В ней также будет только два возможных цвета. Снова применим Принцип Дирихле: в строке обязательно найдутся две клетки одного цвета. Без ограничения общности, предположим, что это клетки с цветом "ч".

Теперь рассмотрим все возможные комбинации строк с тем же самым цветом "ч". Для каждой комбинации имеется подобласть в оставшейся части доски (под областью), где все строки имеют такую же комбинацию цветов "ч".

Так как всего возможных комбинаций строк равно \(2^m\) (потому что каждая строка может быть либо "ч", либо "б"), а количество строк в подобласти равно \(\frac{m}{2^n}\), то эта подобласть имеет высоту не меньше \(\frac{m}{2^n} - 1\).

Таким образом, область, где все столбцы имеют одинаковую комбинацию цветов, и подобласть под ней, где все строки имеют такую же комбинацию цветов, образуют прямоугольник размером не меньше \(\frac{m}{2^n} \times (\frac{m}{2^n} - 1)\).

Однако, должно быть соблюдено условие, что прямоугольник состоит только из клеток с цветом "ч". Если выполняется это условие, то мы нашли прямоугольник, удовлетворяющий заданию.

Следовательно, на любой шахматной доске найдется набор клеток, образующих прямоугольник, у которого вершины состоят только из клеток с одинаковым цветом.

Это доказательство показывает, что такой прямоугольник всегда найдется, независимо от расположения и цветов клеток на доске.