На боковой стороне AB трапеции ABCD (AD∥BC) выделена середина M. Известно, что сумма AD и BC равна CD, угол BAD равен

Basya

62

Итак, нам дана трапеция \(ABCD\), где \(AD \parallel BC\), \(M\) - середина стороны \(AB\). Нам также известно, что \(AD + BC = CD\), \(∠BAD = 57^\circ\) и \(∠MDA = 51^\circ\). Мы должны найти значение угла \(BMC\).

Давайте начнем с некоторых наблюдений:

1. Так как \(M\) - середина стороны \(AB\), то \(AM = MB\).

2. Треугольник \(AMD\) и треугольник \(BMC\) являются равнобедренными треугольниками, так как у них равны стороны: \(AM = MB\) и \(MD = MC\).

Теперь давайте используем факт о сумме углов в треугольнике. В треугольнике \(AMD\):

\[∠MAD + ∠MDA + ∠ADM = 180^\circ\]

Подставляя значения углов, получаем:

\[57^\circ + 51^\circ + ∠ADM = 180^\circ\]

\[108^\circ + ∠ADM = 180^\circ\]

\[∠ADM = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ\]

Теперь, так как треугольник \(AMD\) равнобедренный, то \(\∠DAM = ∠ADM = 72^\circ\).

Теперь мы можем рассмотреть треугольник \(BMC\). Мы знаем, что \(\∠MBC = ∠BCM\) (из-за равенства сторон) и \(\∠MCB = ∠MBA\).

Так как \(∠DAM = 72^\circ\), мы можем найти \(\∠MAB = 180^\circ - 72^\circ - 57^\circ = 51^\circ\) (сумма углов в треугольнике).

Теперь в треугольнике \(MBA\), в силу равенства сторон, угол \(\∠MAB = \∠MBA = 51^\circ\).

Таким образом, угол \(\∠BMC\) равен \(\∠BCM + \∠MCB = 51^\circ + 51^\circ = 102^\circ\).

Итак, величина угла \(BMC\) равна 102 градусам.