На четырех чертежах изобразите: a) треугольник A1B1C1, который является симметричным треугольнику ABC относительно

Черепаха

14

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

a) Для начала, мы знаем, что треугольник A1B1C1 является симметричным треугольнику ABC относительно точки D(-1; 1). Чтобы построить этот треугольник, мы можем отразить каждую из вершин треугольника ABC относительно точки D.

Для этого нам нужно найти расстояние от каждой вершины треугольника ABC до точки D и отразить эту вершину относительно точки D на такое же расстояние в противоположном направлении.

Итак, пусть A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3) - координаты вершин треугольника ABC.

1. Найдем расстояние от вершины A до точки D. Используя формулу расстояния между двумя точками \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\), получаем:

Расстояние от A до D = \(\sqrt{(-1 - x_1)^2 + (1 - y_1)^2}\)

2. Отразим вершину A относительно точки D. Для этого вычтем из координат вершины A координаты точки D и поменяем знаки полученных координат:

A1 = (-1 - x1, 1 - y1)

3. Проделаем те же шаги для вершин B и C:

Расстояние от B до D = \(\sqrt{(-1 - x_2)^2 + (1 - y_2)^2}\)

B1 = (-1 - x2, 1 - y2)

Расстояние от C до D = \(\sqrt{(-1 - x_3)^2 + (1 - y_3)^2}\)

C1 = (-1 - x3, 1 - y3)

Теперь у нас есть координаты вершин треугольника A1B1C1.

b) Треугольник A2B2C2 является симметричным треугольнику ABC относительно биссектрисы первого и третьего координатного углов. Биссектрисой угла является прямая, которая делит угол пополам.

Для построения этого треугольника нам нужно найти координаты точек пересечения биссектрисы угла с прямыми, содержащими стороны треугольника ABC, и отразить каждую вершину треугольника относительно соответствующей точки пересечения прямых.

Итак, нам нужно найти биссектрису первого и третьего координатного угла:

4. Найдем коэффициенты биссектрис первого и третьего координатного угла, используя формулу \(m = -\frac{y_2}{x_2}\), где (x2, y2) - координаты точки на одной из сторон треугольника ABC.

Коэффициент биссектрисы первого координатного угла: \(m_1 = -\frac{y_2}{x_2}\)

Коэффициент биссектрисы третьего координатного угла: \(m_2 = -\frac{y_3}{x_3}\)

5. Найдем точки пересечения биссектрисы первого и третьего координатного угла с прямыми, содержащими стороны треугольника ABC. Для этого найдем уравнения прямых, содержащих стороны треугольника ABC, и найдем точки пересечения этих прямых с биссектрисой.

Уравнение прямой, проходящей через точки A и B, можно найти, используя уравнение прямой \(y - y_1 = m_1(x - x_1)\), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.

Уравнение прямой, проходящей через точки A и C, можно найти аналогично, используя уравнение прямой \(y - y_1 = m_2(x - x_1)\), где (x1, y1) и (x3, y3) - координаты точек A и C соответственно.

Решим систему уравнений, состоящую из биссектрисы первого координатного угла и прямой, содержащей сторону AB:

Решим систему уравнений, состоящую из биссектрисы третьего координатного угла и прямой, содержащей сторону AC:

6. Найденные точки пересечения прямых с биссектрисами будут точками отражения для вершин треугольника ABC:

A2 = (координаты точки пересечения с биссектрисой первого координатного угла)

B2 = (координаты точки пересечения с биссектрисой второго координатного угла)

C2 = (координаты точки пересечения с биссектрисой третьего координатного угла)

c) Треугольник A3B3C3 получается при параллельном переносе треугольника ABC на вектор (x, y).

7. Пусть (x, y) - вектор параллельного переноса. Тогда координаты вершин треугольника A3B3C3 будут

\(A3 = (x_1 + x, y_1 + y)\)

\(B3 = (x_2 + x, y_2 + y)\)

\(C3 = (x_3 + x, y_3 + y)\)

d) Треугольник A4B4C4 получается при повороте треугольника ABC на 90° по часовой стрелке вокруг основания высоты BH.

8. Чтобы построить треугольник A4B4C4, нужно найти координаты вершин этого треугольника.

Пусть H(xH, yH) - координаты точки пересечения высот треугольника ABC.

Для поворота точки (x, y) на 90° по часовой стрелке вокруг точки (a, b), можно использовать формулы:

\(x" = a + (y - b)\)

\(y" = b - (x - a)\)

Применяя эти формулы к каждой из вершин треугольника ABC, где основание высоты BH это B, получим координаты вершин треугольника A4B4C4:

\(A4 = \left(xH + (y_1 - yH), yH - (x_1 - xH)\right)\)

\(B4 = \left(xH + (y_2 - yH), yH - (x_2 - xH)\right)\)

\(C4 = \left(xH + (y_3 - yH), yH - (x_3 - xH)\right)\)

Итак, мы получили координаты треугольников A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3 и A4B4C4. Они могут быть использованы для построения чертежей. Не забудьте добавить их в каждый из чертежей.