На четырех различных чертежах постройте следующие отрезки, используя данные точки: а) Отрезок, соединяющий точку

Zagadochnyy_Ubiyca

24

а) Для построения отрезка, симметричного отрезку \(AB\) относительно точки \(C\), нам нужно найти середину отрезка \(AB\) и провести прямую, проходящую через эту середину и точку \(C\).

Итак, у нас есть точка \(A(1;-1)\), точка \(B(3;1)\) и точка \(C(0;-2)\).

1) Определим середину отрезка \(AB\). Для этого найдём среднее значение координат \(x\) и \(y\):
\(x_{\text{сер}} = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1+3}{2} = 2\),
\(y_{\text{сер}} = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-1+1}{2} = 0\).
Таким образом, середина отрезка \(AB\) имеет координаты \(M(2;0)\).

2) Проведем прямую, проходящую через точку \(M\) и точку \(C\). Для этого используем уравнение прямой вида \(y-y_M = k(x-x_M)\), где \(k\) - угловой коэффициент прямой.

Перепишем уравнение в данном виде для нашей прямой:
\(y - 0 = k(x - 2)\).

Так как прямая проходит через точки \(M\) и \(C\), то подставим координаты точки \(C\) в уравнение:
\(-2 = k(0 - 2) \Rightarrow -2 = -2k \Rightarrow k = 1\).

Теперь у нас есть уравнение прямой:
\(y = x - 2\).

3) Построим отрезок \(A"V\) с началом в точке \(A\) и концом на пересечении прямой и оси \(y\). Для этого подставим значение \(x = 0\) в уравнение прямой:
\(y = 0 - 2 = -2\).
Таким образом, точка \(V(0;-2)\) является концом отрезка \(A"V\).

Ответ: Чтобы построить отрезок, соединяющий точку \(A(1;-1)\) и точку \(V(0;-2)\), симметричный отрезку \(AV\) относительно точки \(C(0;-2)\), нужно провести отрезок \(A"V\), где \(A"\) - симметричная точка к \(A\) относительно \(C\).

б) Для построения отрезка, симметричного отрезку \(AC\) относительно оси \(AV\), нам нужно провести прямую, проходящую через середину отрезка \(AC\) и перпендикулярную оси \(AV\).

Итак, у нас есть точка \(A(1;-1)\), точка \(C(0;-2)\) и ось \(AV\).

1) Определим середину отрезка \(AC\). Для этого найдём среднее значение координат \(x\) и \(y\):
\(x_{\text{сер}} = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{1+0}{2} = 0.5\),
\(y_{\text{сер}} = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-1+(-2)}{2} = -1.5\).
Таким образом, середина отрезка \(AC\) имеет координаты \(M(0.5;-1.5)\).

2) Построим прямую, проходящую через точку \(M\) и перпендикулярную оси \(AV\). Так как ось \(AV\) вертикальная, то прямая должна быть горизонтальной и иметь уравнение \(y = b\), где \(b\) - координата \(y\) точки \(M\).

Таким образом, у нас есть уравнение прямой:
\(y = -1.5\).

3) Построим отрезок \(A"С\) с началом в точке \(A\) и концом на пересечении прямой и оси \(x\). Для этого подставим значение \(y = 0\) в уравнение прямой:
\(0 = -1.5\).

Таким образом, точка \(С(0;-2)\) является концом отрезка \(A"С\).

Ответ: Чтобы построить отрезок, соединяющий точку \(A(1;-1)\) и точку \(C(0;-2)\), симметричный отрезку \(AC\) относительно оси \(AV\), нужно провести отрезок \(A"С\), где \(A"\) - симметричная точка к \(A\) относительно оси \(AV\).

в) Параллельный перенос - это просто сдвиг объекта, сохраняя его форму и ориентацию. Чтобы построить отрезок, полученный параллельным переносом отрезка \(AV\) на вектор \(AC\), нужно просто сдвинуть каждую точку отрезка \(AV\) на вектор \(AC\).

Итак, у нас есть точка \(A(1;-1)\), точка \(V(3;1)\) и вектор \(AC\).

1) Определим вектор \(AC\). Для этого найдём разность координат точек \(A\) и \(C\):
\(AC = \begin{pmatrix}
x_C - x_A \\
y_C - y_A \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0 - 1 \\
-2 - (-1) \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
-1 \\
-1 \\
\end{pmatrix}\).

2) Сдвинем каждую точку отрезка \(AV\) на вектор \(AC\):
\(A" = A + AC = \begin{pmatrix}
x_A \\
y_A \\
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
x_{AC} \\
y_{AC} \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
-1 \\
-1 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0 \\
-2 \\
\end{pmatrix}\),
\(V" = V + AC = \begin{pmatrix}
x_V \\
y_V \\
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
x_{AC} \\
y_{AC} \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
-1 \\
-1 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
2 \\
0 \\
\end{pmatrix}\).

Ответ: Чтобы построить отрезок, соединяющий точку \(A(1;-1)\) и точку \(V(3;1)\), который получается параллельным переносом отрезка \(AV\) на вектор \(AC\), нужно провести отрезок \(A"V"\), где \(A"\) - сдвинутая точка \(A\) на вектор \(AC\), а \(V"\) - сдвинутая точка \(V\) на вектор \(AC\).

г) Поворот объекта на 90 градусов против часовой стрелки означает, что каждая точка объекта должна быть повернута против часовой стрелки вокруг точки \(B\) на 90 градусов.

Итак, у нас есть точка \(A(1;-1)\), точка \(C(0;-2)\) и точка \(B(3;1)\).

1) Определим вектор \(AB\). Для этого найдём разность координат точек \(A\) и \(B\):
\(AB = \begin{pmatrix}
x_B - x_A \\
y_B - y_A \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
3 - 1 \\
1 - (-1) \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
\end{pmatrix}\).

2) Повернем вектор \(AC\) на 90 градусов против часовой стрелки. Для этого умножим вектор \(AC\) на матрицу поворота:
\(\begin{pmatrix}
x" \\
y" \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{AC} \\
y_{AC} \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 \\
-1 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
\end{pmatrix}\).

3) Повернем отрезок \(AB\) на 90 градусов против часовой стрелки. Для этого найдем конечные точки повернутого отрезка:
\(A" = B + \begin{pmatrix}
x" \\
y" \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
4 \\
0 \\
\end{pmatrix}\),
\(C" = B + \begin{pmatrix}
x" \\
y" \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
4 \\
0 \\
\end{pmatrix}\).

Ответ: Чтобы построить отрезок, соединяющий точку \(A(1;-1)\) и точку \(C(0;-2)\), который получается при повороте отрезка \(AC\) вокруг точки \(B(3;1)\) на 90 градусов против часовой стрелки, нужно провести отрезок \(A"C"\), где \(A"\) и \(C"\) - конечные точки повернутого отрезка.