Какова мера угла BAC при условии, что на рисунке AB=c , угол B=90 градусов, уголCAD=бета и угол D=Гамма?

Grigoriy

32

Добрый день! Давайте рассмотрим задачу подробно.

Мы должны найти меру угла BAC (выделенного на рисунке). Дано, что отрезок AB равен c, угол B равен 90 градусов, угол CAD обозначен бета, а угол D обозначен гамма.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов. Данная теорема связывает стороны треугольника с косинусами соответствующих углов. В нашем случае у нас есть сторона AB, угол B и угол C, которые нам известны.

Теорема косинусов гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Где a и b - стороны треугольника, а C - мера угла между этими сторонами.

Так как нам известны сторона AB (обозначенная c) и угол B (равен 90 градусов), мы можем записать:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(90^\circ)\]

Угол B равен 90 градусов, значит, \(\cos(90^\circ) = 0\):
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0\]
\[c^2 = a^2 + b^2\]

Теперь нам нужно выразить неизвестную сторону a через углы бета и гамма. Мы можем использовать соотношение, известное как закон синусов:
\[\frac{a}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(A)}\]

Где A - мера угла BAC.

Так как угол B равен 90 градусов, \(\sin(90^\circ) = 1\), и мы можем записать:
\[\frac{a}{1} = \frac{c}{\sin(A)}\]
\[a = c \cdot \sin(A)\]

Теперь мы можем подставить это выражение для a в уравнение \(c^2 = a^2 + b^2\) и решить его относительно меры угла A.

\[c^2 = (c \cdot \sin(A))^2 + b^2\]
\[c^2 = c^2 \cdot \sin^2(A) + b^2\]
\[c^2 - c^2 \cdot \sin^2(A) = b^2\]
\[c^2 (1 - \sin^2(A)) = b^2\]

Так как \(\sin^2(A) + \cos^2(A) = 1\), мы можем переписать уравнение:
\[c^2 \cos^2(A) = b^2\]

Теперь можем выразить меру угла A:
\[\cos(A) = \frac{b}{c}\]
\[A = \arccos\left(\frac{b}{c}\right)\]

Таким образом, мера угла BAC равна \(\arccos\left(\frac{b}{c}\right)\).

Надеюсь, это решение помогло вам разобраться в задаче. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.