На изображении представлен график функции, заданной уравнением y=x^2-6x. а) Показать на координатной плоскости область

Георгий

54

Хорошо, давайте решим задачу по порядку.

а) Для решения неравенства \(y-x^2+6\leq 0\) нам нужно найти область на графике функции \(y = x^2 - 6x\), где неравенство выполняется.

Для начала найдем точки пересечения графика функции с осью OX, положив \(y = 0\). Подставим \(y = 0\) в уравнение функции и решим его:

\[0 = x^2 - 6x\]

Факторизуем это уравнение:

\[0 = x(x - 6)\]

Из этого получаем два решения:

\[x_1 = 0\]
\[x_2 = 6\]

Теперь мы знаем, что график пересекает ось OX в точках (0; 0) и (6; 0).

Затем найдем вершину параболы, используя формулу \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - это коэффициенты при \(x^2\) и \(x\) соответственно. В нашем случае \(a = 1\), \(b = -6\), поэтому:

\[x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке (3; -3).

Теперь давайте нарисуем график функции на координатной плоскости:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-1 & 7 \\
0 & 0 \\
1 & -5 \\
2 & -8 \\
3 & -9 \\
4 & -8 \\
5 & -5 \\
6 & 0 \\
7 & 7 \\
\hline
\end{array}
\]

График будет иметь форму параболы, открывающейся вверх и проходящей через точки (0; 0), (3; -3) и (6; 0). Обозначим этот график красным цветом.

Теперь нарисуем область, где неравенство \(y - x^2 + 6 \leq 0\) выполняется. Для этого посмотрим на знак значения \(y - x^2 + 6\) в разных точках. Если это значение отрицательное или равно нулю, то неравенство выполняется.

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Точка} & y - x^2 + 6 & \text{Неравенство выполняется?} \\
\hline
A (0; 0) & 0 - 0 + 6 = 6 & \times \\
B (3; -3) & -3 - 9 + 6 = -6 & \checkmark \\
C (6; 0) & 0 - 36 + 6 = -30 & \checkmark \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, область решений неравенства \(y - x^2 + 6 \leq 0\) на графике функции будет заключена между точками B (3; -3) и C (6; 0). Отметим эту область на графике с помощью заштриховки.

б) Теперь определим, принадлежит ли точка А (3; 5) или В (-3; -2) области решений неравенства из пункта "а".

Для этого нужно проверить, выполняется ли неравенство \(y - x^2 + 6 \leq 0\) для каждой из этих точек.

a) Для точки А (3; 5):

\[y - x^2 + 6 = 5 - 3^2 + 6 = 5 - 9 + 6 = 2\]

Так как \(2 > 0\), то неравенство не выполняется для точки А.

b) Для точки В (-3; -2):

\[y - x^2 + 6 = -2 - (-3)^2 + 6 = -2 - 9 + 6 = -5\]

Так как \(-5 \leq 0\), то неравенство выполняется для точки В.

Итак, точка В (-3; -2) принадлежит области решений неравенства \(y - x^2 + 6 \leq 0\), в то время как точка А (3; 5) не принадлежит этой области.

Надеюсь, я был ясен и понятен. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!