Какое уравнение гиперболы проходит через точку М (-5; 3) и имеет общие фокусы с равносторонней гиперболой x^2– y^2?

Hrustal

59

Чтобы найти уравнение гиперболы, проходящей через точку М(-5; 3) и имеющей общие фокусы с равносторонней гиперболой \(x^2 - y^2 = 1\), мы можем использовать два ключевых факта о геометрии гипербол.

Первый факт: Расстояние от фокуса гиперболы до ее центра равно \(c\), где \(c\) - это фокусное расстояние. В данном случае, равносторонняя гипербола \(x^2 - y^2 = 1\) имеет фокусное расстояние \(c = 1\).

Второй факт: Уравнение гиперболы в центре координат имеет форму \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\), где \(a\) и \(b\) - полуоси гиперболы.

Используя эти два факта и заданную точку М(-5; 3), мы можем найти уравнение гиперболы.

1. Найдем фокусное расстояние \(c\):
Для равносторонней гиперболы \(x^2 - y^2 = 1\), расстояние от центра гиперболы до фокуса определяется как \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\). В данном случае \(a = b = 1\), поэтому \(c = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).

2. Найдем уравнение гиперболы с использованием данной информации:
Уравнение будет иметь форму \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\), где \(a\) и \(b\) - полуоси гиперболы. Так как фокусное расстояние равно \(\sqrt{2}\), мы можем использовать это значение для нахождения \(a\) и \(b\):
\(\sqrt{2} = \sqrt{a^2 + b^2}\)
В данной ситуации \(a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}\), так как гипербола равносторонняя.
Таким образом, уравнение гиперболы, проходящей через точку М (-5; 3) и имеющее общие фокусы с равносторонней гиперболой \(x^2 - y^2 = 1\), будет иметь вид:
\(\frac{x^2}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} - \frac{y^2}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = 1\)
\(\frac{x^2}{\frac{1}{2}} - \frac{y^2}{\frac{1}{2}} = 1\)
\(2x^2 - 2y^2 = 1\)

Итак, уравнение гиперболы, проходящей через точку М(-5; 3) и имеющей общие фокусы с равносторонней гиперболой \(x^2 - y^2 = 1\), будет \(2x^2 - 2y^2 = 1\).