На каких расстояниях от Земли можно найти планеты Меркурий (с большой полуосью а = 0,387 а.е. и эксцентриситетом

Смешарик

68

Для нахождения расстояний от Земли до планет Меркурий и Марс, мы можем использовать закон Кеплера для орбит, в котором связаны большая полуось и эксцентриситет орбиты.

Закон Кеплера утверждает, что квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца пропорционален кубу большой полуоси орбиты планеты. Мы можем использовать этот закон для вычисления расстояний от Земли до Меркурия и Марса.

Давайте начнем с Меркурия.

Для Меркурия, большая полуось а = 0,387 а.е. и эксцентриситет е = 0,206.

Вычислим период обращения Меркурия вокруг Солнца.
Для этого мы можем использовать третий закон Кеплера, который утверждает:

\[\frac{{T^2}}{{a^3}} = const\]

Где T - период обращения планеты, а - большая полуось орбиты планеты.

Таким образом, у нас есть:

\[\frac{{T_{Merkury}^2}}{{a_{Merkury}^3}} = \frac{{T_{Earth}^2}}{{a_{Earth}^3}}\]

Мы знаем, что период обращения Земли вокруг Солнца составляет примерно 1 год или 365.25 дней, и большая полуось орбиты Земли равна 1 а.е. Подставим эти значения в уравнение и найдем период обращения Меркурия:

\[\frac{{T_{Merkury}^2}}{{0,387^3}} = \frac{{(365,25)^2}}{{1^3}}\]

Решив это уравнение, мы найдем период обращения Меркурия:

\[T_{Merkury} = \sqrt{\frac{{0,387^3}}{{(365,25)^2}}} \approx 0,241 года\]

Теперь, зная период обращения Меркурия, мы можем вычислить среднюю скорость его движения вокруг Солнца:

\[V_{Merkury} = \frac{{2 \pi a_{Merkury}}}{{T_{Merkury}}} = \frac{{2 \pi \cdot 0,387}}{{0,241}} \approx 48,02 км/с\]

Теперь, чтобы найти расстояние от Земли до Меркурия, мы можем умножить среднюю скорость планеты на период обращения:

\[D_{Merkury} = V_{Merkury} \cdot T_{Merkury} = 48,02 \cdot 0,241 \approx 11,6 млн км\]

Теперь перейдем к Марсу.

Для Марса, большая полуось а = 1,524 а.е. и эксцентриситет е = 0,093.

Процедура вычисления расстояния от Земли до Марса аналогична. Сначала найдем период обращения Марса:

\[\frac{{T_{Mars}^2}}{{a_{Mars}^3}} = \frac{{T_{Earth}^2}}{{a_{Earth}^3}}\]

Подставим значения периода обращения и большой полуоси Земли:

\[\frac{{T_{Mars}^2}}{{1,524^3}} = \frac{{(365,25)^2}}{{1^3}}\]

Решив это уравнение, мы найдем период обращения Марса:

\[T_{Mars} = \sqrt{\frac{{1,524^3}}{{(365,25)^2}}} \approx 1,88 года\]

Теперь найдем среднюю скорость движения Марса вокруг Солнца:

\[V_{Mars} = \frac{{2 \pi a_{Mars}}}{{T_{Mars}}} = \frac{{2 \pi \cdot 1,524}}{{1,88}} \approx 24,13 км/с\]

И, наконец, расстояние от Земли до Марса:

\[D_{Mars} = V_{Mars} \cdot T_{Mars} = 24,13 \cdot 1,88 \approx 45,4 млн км\]

Итак, расстояния от Земли до Меркурия и Марса составляют соответственно около 11,6 миллионов километров и 45,4 миллионов километров.