На каком интервале [0;2n] содержатся корни уравнения tg 8x = 1, где n представляет собой число пи? Варианты ответов

Skolzkiy_Pingvin

5

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать знания о функции тангенса и свойствах периодичности тангенса. Уравнение \(\tan(8x) = 1\) можно рассматривать как уравнение для переменной \(8x\), так как \(\tan\) является периодической функцией с периодом \(\pi\).

Для начала, давайте найдем первый корень (точку, в которой функция пересекает ось \(x\)) уравнения \(\tan(8x) = 1\) на интервале \([0;2\pi]\). Мы можем записать это уравнение как \(8x = \arctan(1)\). Поскольку \(\arctan(1) = \frac{\pi}{4}\), получаем \(8x = \frac{\pi}{4}\). Разделив обе части на 8, получаем \(x = \frac{\pi}{32}\).

Теперь, учитывая периодичность функции тангенса, мы можем найти другие корни на интервале \([0;2\pi]\) путем добавления целого числа периодов. Поскольку период функции \(\tan(8x)\) равен \(\frac{\pi}{8}\), получаем следующие корни на интервале \([0;2\pi]\):

\[x_1 = \frac{\pi}{32}\]
\[x_2 = \frac{\pi}{32} + \frac{\pi}{8}\]
\[x_3 = \frac{\pi}{32} + \frac{2\pi}{8}\]
\[...\]

Учитывая, что \(n\) представляет число \(\pi\), мы можем записать интервал, содержащий все корни уравнения \(\tan(8x) = 1\) на интервале \([0;2n]\). Подставляя \(n = \pi\), получаем:

\[x \in \left[0;2\pi\right)\]

Таким образом, ответ на задачу: корни уравнения \(\tan(8x) = 1\) содержатся на интервале \([0;2\pi]\) (вариант ответа 2).

Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся спрашивать!