На каком расстоянии нужно разместить предмет перед линзой с фокусным расстоянием 10 см, чтобы его реальное изображение

Sambuka

47

Для начала определимся с типом линзы, которая нам дана. Если предмет увеличивается, то мы имеем дело с собирающей линзой, так как в противном случае, когда предмет уменьшается, используется рассеивающая линза. В данной задаче речь идет о реальном изображении, поэтому используем собирающую линзу.

Теперь нам нужно найти расстояние между предметом и линзой. Обозначим это расстояние как \(x\).

Воспользуемся формулой тонкой линзы:

\[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}
\]

где \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(d_o\) - расстояние от предмета до линзы и \(d_i\) - расстояние от изображения до линзы.

Мы знаем, что фокусное расстояние \(f\) равно 10 см. Также нам известно, что реальное изображение предмета в 4 раза больше, чем исходный предмет. Это означает, что \(\frac{d_i}{d_o} = 4\).

Подставим все значения в формулу:

\[
\frac{1}{10} = \frac{4}{x} + \frac{1}{d_i}
\]

Теперь у нас два неизвестных: \(x\) и \(d_i\). Чтобы найти их, нам нужно использовать ещё одно условие.

Поскольку у нас имеется реальное увеличенное изображение, то \(d_i\) будет положительным, так как оно находится справа от линзы. Если бы у нас было виртуальное уменьшенное изображение, \(d_i\) было бы отрицательным.

Теперь, чтобы найти значение \(d_i\), мы можем использовать формулу увеличения линзы:

\[
\frac{H_i}{H_o} = -\frac{d_i}{d_o}
\]

где \(H_i\) - высота изображения и \(H_o\) - высота предмета. В данной задаче сказано, что изображение в 4 раза больше исходного, то есть \(\frac{H_i}{H_o} = 4\).

Подставим это значение в формулу:

\[
4 = -\frac{d_i}{d_o}
\]

Мы знаем, что \(d_o = x\), поэтому:

\[
4 = -\frac{d_i}{x}
\]

Теперь мы можем найти \(d_i\):

\[
d_i = -4x
\]

Вернемся к формуле тонкой линзы и подставим значение \(d_i\):

\[
\frac{1}{10} = \frac{4}{x} + \frac{1}{-4x}
\]

После упрощения получим:

\[
\frac{1}{10} = \frac{4}{x} - \frac{1}{4x}
\]

Находим общий знаменатель:

\[
\frac{1}{10} = \frac{16 - 1}{4x}
\]

Приводим к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{10} = \frac{15}{4x}
\]

Теперь, чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим обе части уравнения на \(10 \cdot 4x\):

\[
x = \frac{40}{15}
\]

Упрощаем:

\[
x = \frac{8}{3}
\]

Итак, расстояние между предметом и линзой должно быть \(\frac{8}{3}\) см.