На каком расстоянии нужно разместить предмет перед линзой с фокусным расстоянием 10 см, чтобы его реальное изображение

Sambuka

47

Для начала определимся с типом линзы, которая нам дана. Если предмет увеличивается, то мы имеем дело с собирающей линзой, так как в противном случае, когда предмет уменьшается, используется рассеивающая линза. В данной задаче речь идет о реальном изображении, поэтому используем собирающую линзу.

Теперь нам нужно найти расстояние между предметом и линзой. Обозначим это расстояние как $x$.

Воспользуемся формулой тонкой линзы:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}$$

где $f$ - фокусное расстояние линзы, $d_o$ - расстояние от предмета до линзы и $d_i$ - расстояние от изображения до линзы.

Мы знаем, что фокусное расстояние $f$ равно 10 см. Также нам известно, что реальное изображение предмета в 4 раза больше, чем исходный предмет. Это означает, что $\frac{d_i}{d_o}=4$.

Подставим все значения в формулу:

$$\frac{1}{10}=\frac{4}{x}+\frac{1}{d_i}$$

Теперь у нас два неизвестных: $x$ и $d_i$. Чтобы найти их, нам нужно использовать ещё одно условие.

Поскольку у нас имеется реальное увеличенное изображение, то $d_i$ будет положительным, так как оно находится справа от линзы. Если бы у нас было виртуальное уменьшенное изображение, $d_i$ было бы отрицательным.

Теперь, чтобы найти значение $d_i$, мы можем использовать формулу увеличения линзы:

$$\frac{H_i}{H_o}=-\frac{d_i}{d_o}$$

где $H_i$ - высота изображения и $H_o$ - высота предмета. В данной задаче сказано, что изображение в 4 раза больше исходного, то есть $\frac{H_i}{H_o}=4$.

Подставим это значение в формулу:

$$4=-\frac{d_i}{d_o}$$

Мы знаем, что $d_o=x$, поэтому:

$$4=-\frac{d_i}{x}$$

Теперь мы можем найти $d_i$:

$$d_i=-4x$$

Вернемся к формуле тонкой линзы и подставим значение $d_i$:

$$\frac{1}{10}=\frac{4}{x}+\frac{1}{-4x}$$

После упрощения получим:

$$\frac{1}{10}=\frac{4}{x}-\frac{1}{4x}$$

Находим общий знаменатель:

$$\frac{1}{10}=\frac{16-1}{4x}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1}{10}=\frac{15}{4x}$$

Теперь, чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим обе части уравнения на $10\cdot 4x$:

$$x=\frac{40}{15}$$

Упрощаем:

$$x=\frac{8}{3}$$

Итак, расстояние между предметом и линзой должно быть $\frac{8}{3}$ см.