На каком расстоянии от линзы должен быть размещен источник света диаметром d = 6 см, чтобы лучи, проходя через линзу

Dobryy_Drakon_6834

53

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые основные понятия оптики.

Первым шагом необходимо определить, как именно создается световое пятно на экране, когда лучи света проходят через линзу.

Когда параллельный пучок лучей проходит через линзу, он собирается в точку, которая называется фокусом линзы. Для удобства восприятия мы будем считать, что фокусное расстояние линзы равно f, а линза симметрична, то есть имеет одинаковые фокусные расстояния с обеих сторон.

Согласно формуле линзы:
\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}\]
где d1 - расстояние от объекта до линзы, d2 - расстояние от линзы до экрана.

Теперь, чтобы определить, на каком расстоянии от линзы должен быть размещен источник света, мы можем использовать следующий метод.

Давайте представим, что источник света находится на расстоянии d1 от линзы. Когда лучи света проходят через линзу, они собираются в точку на расстоянии f от линзы, образуя изображение.

Теперь представим, что на экране мы хотим получить световое пятно диаметром h. Диаметр светового пятна на экране связан с диаметром источника света и фокусным расстоянием линзы следующим соотношением:
\[\frac{h}{d_2} = \frac{d}{f}\]

Мы хотим, чтобы диаметр светового пятна на экране был равен h. Поэтому, используя соотношение, мы можем выразить расстояние d2:
\[d_2 = \frac{hf}{d}\]

Теперь у нас есть выражение для расстояния d2 в зависимости от фокусного расстояния линзы и диаметра источника света.

Однако, нам нужно найти расстояние d1, на котором нужно разместить источник света, чтобы получить указанное световое пятно на экране.

Для этого мы можем использовать формулу линзы:
\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}\]

Подставляя значение d2, полученное выше, мы получаем:
\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{\frac{hf}{d}}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно d1. Для этого сначала умножим оба члена уравнения на \(d_1 \cdot \frac{hf}{d}\), чтобы избавиться от дробей:
\[d_1 \cdot \frac{hf}{d} \cdot \frac{1}{f} = d_1 + \frac{hf}{d \cdot f}\]

Раскроем скобки:
\[d_1 \cdot \frac{h}{d} = d_1 + \frac{h}{d}\]

Теперь выразим \(d_1\) относительно h:
\[d_1 \cdot \frac{h}{d} - d_1 = \frac{h}{d}\]

Сгруппируем члены:
\[d_1 \cdot (\frac{h}{d} - 1) = \frac{h}{d}\]

Делим обе части равенства на \(\frac{h}{d} - 1\):
\[d_1 = \frac{\frac{h}{d}}{\frac{h}{d} - 1}\]

Упростим числитель:
\[d_1 = \frac{h}{d - h}\]

Таким образом, расстояние d1, на котором должен быть размещен источник света, равно \(d_1 = \frac{h}{d - h}\).

Теперь мы можем подставить значения диаметра источника света и диаметра светового пятна на экране, чтобы найти конкретное значение расстояния d1.