На каком расстоянии от поверхности данной планеты ускорение свободного падения отличается в четыре раза от ускорения

Морж

37

Для решения этой задачи нам потребуется использовать закон всемирного притяжения, который выражает зависимость между ускорением свободного падения \(g\) и расстоянием \(h\) от центра масс планеты.

Закон всемирного притяжения можно записать следующим образом:

\[g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}\]

где \(G\) - гравитационная постоянная (приближенно равна \(6.674 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\)), \(M\) - масса планеты, \(R\) - радиус планеты.

Из условия задачи нам известно, что ускорение свободного падения отличается в четыре раза на некотором расстоянии от поверхности планеты. Обозначим это расстояние как \(d\).

Тогда ускорение свободного падения на расстоянии \(h+d\) будет равно \(g_{h+d} = 4 \cdot g_h\), где \(g_h\) - ускорение свободного падения на поверхности планеты.

Таким образом, мы получили уравнение:

\[\frac{{G \cdot M}}{{(R+h+d)^2}} = 4 \cdot \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}\]

Для упрощения этого уравнения можно сократить обе части на \(G \cdot M\):

\[\frac{1}{{(R+h+d)^2}} = 4 \cdot \frac{1}{{R^2}}\]

Затем возведём обе части уравнения в степень -2:

\[(R+h+d)^{-2} = 4^{-1} \cdot R^{-2}\]

\[1/(R+h+d)^2 = 1/4R^2\]

Теперь возьмём обратное от обеих частей:

\[(R+h+d)^2 = 4R^2\]

Извлечём квадратный корень:

\[R+h+d = 2R\]

Теперь найдём расстояние \(d\) от поверхности планеты:

\[d = 2R - R - h\]
\[d = R - h\]

Таким образом, расстояние \(d\) от поверхности планеты, на котором ускорение свободного падения отличается в четыре раза от ускорения на её поверхности, равно \(R - h\).