На какой скорости должен двигаться шар радиусом 15 см, чтобы при столкновении со ступенькой высотой 3 см он смог

Магический_Трюк

41

Для решения этой задачи нам потребуется применить законы сохранения энергии и импульса.

Первым шагом определим высоту ступеньки \(H = 3 \, \text{см} = 0.03 \, \text{м}\) и радиус шара \(r = 15 \, \text{см} = 0.15 \, \text{м}\).

Согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия системы (шара и ступеньки) сохраняется, если не учитывать потери на трение и другие неучтенные факторы. Тогда, когда шар достигнет верхней точки траектории, вся его потенциальная энергия \(mgh\) (где \(m\) - масса шара, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота) должна быть равна его кинетической энергии \(\frac{1}{2}mv^2\) (где \(v\) - скорость шара).

Массу шара (\(m\)) можно определить по формуле \(m = \frac{4}{3}\pi r^3\rho\), где \(\rho\) - плотность материала, из которого сделан шар.

Теперь мы можем записать уравнение закона сохранения энергии:

\[mgh = \frac{1}{2}mv^2\]

Подставим выражение для массы:

\[\left(\frac{4}{3}\pi r^3\rho\right)gh = \frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\rho\right)v^2\]

Здесь плотность \(\rho\) можно опустить, так как она сократится при делении обеих частей уравнения на неё. Также обратим внимание, что масса шара отсутствует в итоговом уравнении:

\[2gh = v^2\]

Теперь мы можем выразить скорость шара перед столкновением с ступенькой:

\[v = \sqrt{2gh}\]

Подставляя известные значения:

\[v = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0.03} \, \text{м/с}\]

После несложных вычислений получаем окончательный ответ:

\[v \approx \sqrt{0.6} \, \text{м/с} \approx 0.775 \, \text{м/с}\]

Таким образом, шар должен двигаться со скоростью около 0.775 м/с, чтобы преодолеть ступеньку высотой 3 см при условии абсолютно упругого удара и отсутствия трения.