На какой угол поворачивается вращающееся маховое колесо за t секунд, если оно задерживается тормозом и его поворот

Шустрик

45

Дано уравнение вращения махового колеса: \(v = a + bt - ct^2\), где \(a\), \(b\), и \(c\) — положительные постоянные.

Для того, чтобы найти угол поворота колеса, необходимо проинтегрировать уравнение скорости по времени. Начнем с уравнения скорости вращения колеса:

\[v = \frac{{d\theta}}{{dt}}\]

Где \(\theta\) — угол поворота колеса. Проинтегрировав уравнение скорости по времени, получим:

\[\int v\,dt = \int a + bt - ct^2 \,dt\]

\[s = at + \frac{{bt^2}}{2} - \frac{{ct^3}}{3}\]

Где \(s\) — угол поворота колеса.

Теперь мы можем найти угловую скорость \(\omega\) и угловое ускорение \(\alpha\) вращения колеса:

\[\omega = \frac{{d\theta}}{{dt}} = \frac{{ds}}{{dt}}\]

\[ \alpha = \frac{{d\omega}}{{dt}} = \frac{{d^2s}}{{dt^2}}\]

Возьмем первую производную от \(s\), чтобы найти угловую скорость:

\[\frac{{ds}}{{dt}} = a + bt - ct^2\]

Теперь найдем вторую производную, чтобы найти угловое ускорение:

\[\frac{{d^2s}}{{dt^2}} = \frac{{d}}{{dt}}(a + bt - ct^2)\]

\[\alpha = b - 2ct\]

Таким образом, угловая скорость вращения колеса равна \(a + bt - ct^2\), а угловое ускорение равно \(b - 2ct\).

Чтобы определить, когда колесо остановится, мы должны найти момент времени, когда скорость станет равной нулю. Решим уравнение скорости:

\(v = 0\)

\(a + bt - ct^2 = 0\)

Для решения этого квадратного уравнения относительно \(t\) используем квадратное уравнение:

\[t = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2c}}\]

Обратите внимание, что знак в формуле будет зависеть от выбора положительной или отрицательной корня. Выберем корень, который будет иметь физический смысл и соответствовать нашей ситуации (т.е. время не может быть отрицательным).

Теперь у нас есть подробное решение задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.