На какую часть всех квадратов нужно наложить закраску?

Izumrudnyy_Drakon

30

Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны понять, какую часть всех квадратов охватывает закраска. Предположим, у нас есть квадратная область, состоящая из \(n\) квадратов по ширине и \(n\) квадратов по высоте. Общее количество квадратов в этой области будет равно \(n \times n = n^2\).

Изначально ни один из квадратов не закрашен. Давайте рассмотрим первый квадрат в верхнем левом углу. Если мы покрасим этот квадрат, он закроет один полностью закрашенный квадрат.

Теперь давайте рассмотрим второй квадрат. Если мы покрасим его, он закроет еще один полностью закрашенный квадрат и одну горизонтальную полосу из закрашенных квадратов. Точно так же, третий квадрат закроет еще один полностью закрашенный квадрат и еще одну горизонтальную полосу.

Мы можем заметить, что для каждого нового квадрата мы добавляем еще один полностью закрашенный квадрат и одну горизонтальную полосу. Это происходит потому, что каждый новый квадрат добавляет еще одну строку закрашенных квадратов в области.

Таким образом, общее количество закрашенных квадратов будет равно сумме первых \(n\) натуральных чисел. Натуральные числа составляют арифметическую прогрессию с шагом 1, поэтому их сумма может быть вычислена по формуле: \[\frac{n \times (n + 1)}{2}\].

Итак, на часть всех квадратов в этой области нужно наложить закраску, которая равна \(\frac{n \times (n + 1)}{2}\) в общем случае.