На какую скорость будет замедляться автомобиль при въезде на выпуклый мост радиусом дуги окружности? Автомобиль имеет

Dimon_9710

20

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о центростремительном ускорении и законе сохранения энергии.

Первым шагом определим центростремительное ускорение (a), которое возникает при движении автомобиля по выпуклому мосту. Центростремительное ускорение связано с радиусом (r) дуги моста и скоростью (v) автомобиля следующей формулой:

\[a = \frac{{v^2}}{{r}}\]

В нашем случае радиус дуги (r) не указан в задаче, поэтому для решения задачи нам нужно предположить определенное значение для радиуса моста. Пусть радиус моста будет, например, 50 метров.

Теперь, имея значения скорости (v = 72 км/ч) и радиуса моста (r = 50 м), мы можем рассчитать центростремительное ускорение (a):

\[a = \frac{{(72 \,км/ч)^2}}{{50 \,м}}\]

Не забываем, что скорость в данной формуле должна быть приведена в метрах в секунду, поэтому переводим км/ч в м/с, деля на 3.6:

\[a = \frac{{(72 \,км/ч)^2}}{{50 \,м}} \approx 25.92 \,м/с^2\]

Теперь мы можем решить следующим шагом, используя закон сохранения энергии.

Кинетическая энергия (K) автомобиля, движущегося со скоростью (v), связана с его массой (m) и скоростью следующей формулой:

\[K = \frac{1}{2}mv^2\]

Гравитационная потенциальная энергия (U) автомобиля, движущегося на высоте (h) над землей, связана с его массой (m), ускорением свободного падения (g) и высотой следующей формулой:

\[U = mgh\]

На всей протяженности моста (L), кинетическая энергия автомобиля превращается в его потенциальную энергию, поэтому:

\[K = U\]

Поскольку автомобиль движется равномерно, на него не действует сила трения и его механическая энергия сохраняется.

Положим начало отсчета высоты на уровне земли. Тогда начальная потенциальная энергия автомобиля будет равна 0, так как его высота над землей равна 0. В конечной точке, когда автомобиль достигнет точки самого низкого положения (h), его потенциальная энергия будет максимальной.

Теперь мы можем использовать закон сохранения энергии:

\[\frac{1}{2}mv^2 = mgh\]

Разрешив уравнение относительно высоты (h), получим:

\[h = \frac{v^2}{2g}\]

где ускорение свободного падения (g) принимается равным 9.8 м/с^2.

Теперь мы знаем, что потенциальная энергия автомобиля в конце моста максимальна и равна механической энергии:

\[U = mgh\]

Подставим значение массы (m = 5 тонн) и найденное значение высоты (h) в эту формулу:

\[U = (5 \cdot 10^3 \,кг) \cdot \left(\frac{{(72 \,км/ч)^2}}{{2 \cdot 9.8 \,м/с^2}}\right)\]

Упростим:

\[U \approx (5 \cdot 10^3 \,кг) \cdot \left(\frac{{(72 \cdot 10^3 \,м/ч)^2}}{{19.6 \,м/с^2}}\right)\]

\[U \approx (5 \cdot 10^3 \,кг) \cdot \left(\frac{{(20 \,м/с)^2}}{{19.6 \,м/с^2}}\right)\]

\[U \approx 51020.41 \,дж\]

Теперь, когда у нас есть значение потенциальной энергии автомобиля в конце моста, мы можем использовать это значение, чтобы найти его скорость (v") при въезде на мост. Для этого мы можем снова использовать закон сохранения энергии:

\[\frac{1}{2}mv"^2 = U\]

Подставляем известные значения:

\[\frac{1}{2} \cdot (5 \cdot 10^3 \,кг) \cdot v"^2 = 51020.41 \,дж\]

Решаем уравнение относительно скорости (v"):

\[v"^2 = \frac{{2 \cdot 51020.41 \,дж}}{{5 \cdot 10^3 \,кг}}\]

\[v"^2 \approx \frac{{102040.82 \,дж}}{{5 \cdot 10^3 \,кг}}\]

\[v" \approx \sqrt{\frac{{102040.82 \,дж}}{{5 \cdot 10^3 \,кг}}}\]

\[v" \approx \sqrt{20.408164 \,м^2/с^2}\]

\[v" \approx 4.517 \, м/с\]

Таким образом, скорость автомобиля при въезде на выпуклый мост составит примерно 4.517 м/с. Отметим, что ответ получен при предположении радиуса моста равным 50 метров. Если радиус моста будет другим, ответ также будет другим. Также отметим, что в данном решении мы использовали некоторые упрощения и предположения, чтобы упростить задачу для понимания школьником.