На какую высоту поднялась бы ракета, если бы она выпустила одну порцию продуктов сгорания массой 15 кг со скоростью

Cvetok_187

47

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся законы сохранения импульса и энергии. Давайте пошагово решим эту задачу.

Шаг 1: Найдем изменение импульса системы ракеты и сопла. Импульс определяется как произведение массы на скорость. Обозначим через \(m_r\) массу ракеты (не учитывая сопло), через \(m_p\) массу продуктов сгорания, через \(v_r\) начальную скорость ракеты и через \(v_p\) скорость выброса продуктов сгорания. Тогда импульс ракеты после выброса продуктов сгорания равен нулю, так как система изолирована и нет внешних сил, действующих на нее. По закону сохранения импульса:
\[m_r \cdot v_r + m_p \cdot v_p = 0\]
\[m_r \cdot v_r = -m_p \cdot v_p\]

Шаг 2: Рассмотрим закон сохранения энергии. Перед выбросом продуктов сгорания система имеет некоторую полную энергию, состоящую из кинетической энергии ракеты и энергии продуктов сгорания. После выброса продуктов сгорания система также имеет полную энергию, состоящую только из кинетической энергии ракеты. По закону сохранения энергии:
\[\frac{1}{2} m_r \cdot v_r^2 + \frac{1}{2} m_p \cdot v_p^2 = \frac{1}{2} m_r \cdot v_{r"}^2\]
где через \(v_{r"}\) обозначена скорость ракеты после выброса продуктов сгорания.

Шаг 3: Из уравнения сохранения энергии найдем скорость ракеты после выброса продуктов сгорания:
\[\frac{1}{2} m_r \cdot v_r^2 + \frac{1}{2} m_p \cdot v_p^2 = \frac{1}{2} m_r \cdot v_{r"}^2\]
\[\frac{1}{2} \cdot m_r \cdot v_r^2 + \frac{1}{2} \cdot m_p \cdot v_p^2 = \frac{1}{2} \cdot m_r \cdot (v_r + v_p)^2\]
\[\frac{1}{2} \cdot m_p \cdot v_p^2 = \frac{1}{2} \cdot m_r \cdot v_r^2 + m_r \cdot v_r \cdot v_p + \frac{1}{2} \cdot m_p \cdot v_r^2\]
\[m_p \cdot v_p^2 = m_r \cdot v_r^2 + 2 \cdot m_r \cdot v_r \cdot v_p\]
\[v_p^2 = \frac{m_r \cdot v_r^2}{m_p} + 2 \cdot v_r \cdot v_p\]
\[v_p^2 - 2 \cdot v_r \cdot v_p = \frac{m_r \cdot v_r^2}{m_p}\]
\[v_p \cdot (v_p - 2 \cdot v_r) = \frac{m_r \cdot v_r^2}{m_p}\]
\[(v_p - 2 \cdot v_r) = \frac{m_r \cdot v_r^2}{m_p \cdot v_p}\]

Шаг 4: Подставим значение скорости выброса \(v_p = 2\) км/с и массы сопла \(m_p = 600\) кг в последнее уравнение, чтобы получить значение скорости ракеты перед выбросом продуктов сгорания \(v_r\):
\[(2 - 2 \cdot v_r) = \frac{m_r \cdot v_r^2}{600 \cdot 2}\]
\[2 - 2 \cdot v_r = \frac{v_r^2}{600}\]
\[1200 - 1200 \cdot v_r = v_r^2\]
\[v_r^2 + 1200 \cdot v_r - 1200 = 0\]

Шаг 5: Решим полученное квадратное уравнение. Примем только положительное значение \(v_r\), так как это скорость ракеты, направленная вверх:
\[v_r = \frac{-1200 + \sqrt{1200^2 + 4 \cdot 1200}}{2} \approx 49.19\) м/с

Шаг 6: Теперь, когда у нас есть значение \(v_r\), мы можем найти высоту, на которую поднимается ракета. Используем формулу для высоты, основанную на законе сохранения энергии:
\[h = \frac{1}{2} \cdot \frac{v_r^2}{g}\]
где \(g\) - ускорение свободного падения.

Шаг 7: Подставим значения и рассчитаем высоту:
\[h = \frac{1}{2} \cdot \frac{49.19^2}{9.8} \approx 122.45\) м

Итак, ракета поднимется на высоту около 122.45 метра (с учетом множества знаков после запятой).