На какую высоту упал свинцовый шар, если после столкновения со стальной плитой он нагрелся на 2,5 градуса Цельсия?

Елизавета

57

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать закон сохранения энергии. Поскольку шар падает с высоты, его потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию и механическую энергию нагрева.

Пусть \(m\) - масса свинцового шара, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота, на которую шар падает и \(Т\) - его кинетическая энергия.

Тогда потенциальная энергия шара при падении равна \(mgh\), где \(g ≈ 9,8 \, \dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}\).

Кинетическая энергия равна \(\dfrac{mv^2}{2}\), где \(v\) - скорость шара при ударе о стальную плиту.

Закон сохранения энергии гласит: \(\text{потенциальная энергия} + \text{кинетическая энергия} = \text{энергия нагрева}\).

Используя данную информацию, мы можем записать уравнение для задачи:

\[mgh + \dfrac{mv^2}{2} = 0.8 \cdot \text{механическая энергия}\]

Теперь давайте посмотрим на механическую энергию. Механическая энергия — это сумма потенциальной и кинетической энергии:

\[\text{механическая энергия} = mgh + \dfrac{mv^2}{2}\]

Заменим в наше уравнение механическую энергию и решим уравнение относительно высоты \(h\):

\[mgh + \dfrac{mv^2}{2} = 0.8 \cdot (mgh + \dfrac{mv^2}{2})\]

\[mgh + \dfrac{mv^2}{2} = 0.8 \cdot mgh + 0.8 \cdot \dfrac{mv^2}{2}\]

Вычитаем \(0.8 \cdot mgh\) и \(0.8 \cdot \dfrac{mv^2}{2}\) с обеих сторон уравнения:

\[mgh + \dfrac{mv^2}{2} - 0.8 \cdot mgh - 0.8 \cdot \dfrac{mv^2}{2} = 0\]

Упростим:

\[0.2 \cdot mgh - 0.2 \cdot \dfrac{mv^2}{2} = 0\]

\[0.2 \cdot mgh - 0.1 \cdot m \cdot v^2 = 0\]

\[0.2 \cdot gh - 0.1 \cdot v^2 = 0\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно высоты \(h\):

\[0.2 \cdot gh = 0.1 \cdot v^2\]

\[h = \dfrac{0.1 \cdot v^2}{0.2 \cdot g}\]

Поскольку высоту искать необходимо, то переменные \(m\) и \(v\) заменим из информации в задаче. Мы знаем, что для нагревания было использовано 80% механической энергии, значит \(0.8 \cdot \text{механическая энергия}\) это та энергия, которая ушла на нагревание. Таким образом, можем записать:

\[0.8 \cdot \text{механическая энергия} = \dfrac{0.1 \cdot v^2}{0.2 \cdot g}\]

Выразим \(v\):

\[v = \sqrt{0.8 \cdot 0.2 \cdot g \cdot \text{механическая энергия}}\]

Заменим в формуле ускорение свободного падения \(g\) и выражение для механической энергии:

\[v = \sqrt{0.8 \cdot 0.2 \cdot 9.8 \, \dfrac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \text{механическая энергия}}\]

Теперь можно вычислить скорость \(v\). Поскольку в формуле присутствует переменная \(m\) (масса шара), нам необходимо знать её значение или хотя бы соотношение массы шара и его объёма. Если у нас будет такая информация, то сможем решить задачу дальше.