На одной стороне плоскости расположены концы отрезка АВ. Точка С принадлежит отрезку АВ и делит его в отношении

  • 10
На одной стороне плоскости расположены концы отрезка АВ. Точка С принадлежит отрезку АВ и делит его в отношении 3:4. Точки А1, В1 и С1 являются проекциями точек А, В и С на плоскость. Найдите расстояние СС1, если АА1 = 3 см и ВВ1 = 4 см.
Грей
17
= 4 см.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойством секущих и проекции на плоскость.

Сначала найдем координаты точек A, B и C. Обозначим A = (x₁, y₁), B = (x₂, y₂) и C = (x₃, y₃). По условию, отношение АС к CB равно 3:4, поэтому мы можем записать следующее:

\(\frac{{AC}}{{CB}} = \frac{{3}}{{4}}\)

Используя формулу для нахождения расстояния между двумя точками, мы можем выразить AC и CB в терминах координат:

\(AC = \sqrt{{(x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²}}\) и \(CB = \sqrt{{(x₂ - x₃)² + (y₂ - y₃)²}}\)

Подставим эти значения в уравнение отношения:

\(\frac{{\sqrt{{(x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²}}}}{{\sqrt{{(x₂ - x₃)² + (y₂ - y₃)²}}}} = \frac{{3}}{{4}}\)

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\(\frac{{(x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²}}{{(x₂ - x₃)² + (y₂ - y₃)²}} = \frac{{9}}{{16}}\)

Распишем квадраты в числителе и знаменателе:

\((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)² = \frac{{9}}{{16}} \cdot [(x₂ - x₃)² + (y₂ - y₃)²]\)

Обратите внимание, что у нас есть три неизвестных: x₃, y₃ и СС₁. Чтобы решить эту систему уравнений, нам понадобится еще одно уравнение. Это уравнение выражает отношение расстояний АА₁ к ВВ₁ и также использует проекцию:

\(\frac{{AA₁}}{{BB₁}} = \frac{{3}}{{4}}\)

Перейдем к выражению расстояний через координаты точек:

\(AA₁ = \sqrt{{(x₁ - x₃)² + (y₁ - y₃)²}}\) и \(BB₁ = \sqrt{{(x₂ - x₃)² + (y₂ - y₃)²}}\)

Теперь мы можем записать эту систему уравнений:

\(\frac{{\sqrt{{(x₁ - x₃)² + (y₁ - y₃)²}}}}{{\sqrt{{(x₂ - x₃)² + (y₂ - y₃)²}}}} = \frac{{3}}{{4}}\)

Мы имеем две системы уравнений, одну для соотношения расстояний и одну для отношения расстояний. Решение этих уравнений позволит нам найти значения x₃, y₃ и СС₁.

После решения системы уравнений, найденные значения x₃ и y₃ позволят нам найти расстояние СС₁, используя формулу для расстояния между двумя точками:

\(CC₁ = \sqrt{{(x₃ - x₃₁)² + (y₃ - y₃₁)²}}\)

Таким образом, решение задачи сводится к решению системы уравнений и вычислению расстояния по формуле.

Для упрощения расчетов можно использовать метод подстановки или метод Гаусса, а также круговую зависимость графиков этих функций и использование графического метода решения этой системы уравнений. Это позволит упростить вычисления и получить численное значение расстояния СС₁.