На одной стороне плоскости расположены концы отрезка АВ. Точка С принадлежит отрезку АВ и делит его в отношении
На одной стороне плоскости расположены концы отрезка АВ. Точка С принадлежит отрезку АВ и делит его в отношении 3:4. Точки А1, В1 и С1 являются проекциями точек А, В и С на плоскость. Найдите расстояние СС1, если АА1 = 3 см и ВВ1 = 4 см.
Грей 17
= 4 см.Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойством секущих и проекции на плоскость.
Сначала найдем координаты точек A, B и C. Обозначим A = (x₁, y₁), B = (x₂, y₂) и C = (x₃, y₃). По условию, отношение АС к CB равно 3:4, поэтому мы можем записать следующее:
\(\frac{{AC}}{{CB}} = \frac{{3}}{{4}}\)
Используя формулу для нахождения расстояния между двумя точками, мы можем выразить AC и CB в терминах координат:
\(AC = \sqrt{{(x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²}}\) и \(CB = \sqrt{{(x₂ - x₃)² + (y₂ - y₃)²}}\)
Подставим эти значения в уравнение отношения:
\(\frac{{\sqrt{{(x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²}}}}{{\sqrt{{(x₂ - x₃)² + (y₂ - y₃)²}}}} = \frac{{3}}{{4}}\)
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
\(\frac{{(x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²}}{{(x₂ - x₃)² + (y₂ - y₃)²}} = \frac{{9}}{{16}}\)
Распишем квадраты в числителе и знаменателе:
\((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)² = \frac{{9}}{{16}} \cdot [(x₂ - x₃)² + (y₂ - y₃)²]\)
Обратите внимание, что у нас есть три неизвестных: x₃, y₃ и СС₁. Чтобы решить эту систему уравнений, нам понадобится еще одно уравнение. Это уравнение выражает отношение расстояний АА₁ к ВВ₁ и также использует проекцию:
\(\frac{{AA₁}}{{BB₁}} = \frac{{3}}{{4}}\)
Перейдем к выражению расстояний через координаты точек:
\(AA₁ = \sqrt{{(x₁ - x₃)² + (y₁ - y₃)²}}\) и \(BB₁ = \sqrt{{(x₂ - x₃)² + (y₂ - y₃)²}}\)
Теперь мы можем записать эту систему уравнений:
\(\frac{{\sqrt{{(x₁ - x₃)² + (y₁ - y₃)²}}}}{{\sqrt{{(x₂ - x₃)² + (y₂ - y₃)²}}}} = \frac{{3}}{{4}}\)
Мы имеем две системы уравнений, одну для соотношения расстояний и одну для отношения расстояний. Решение этих уравнений позволит нам найти значения x₃, y₃ и СС₁.
После решения системы уравнений, найденные значения x₃ и y₃ позволят нам найти расстояние СС₁, используя формулу для расстояния между двумя точками:
\(CC₁ = \sqrt{{(x₃ - x₃₁)² + (y₃ - y₃₁)²}}\)
Таким образом, решение задачи сводится к решению системы уравнений и вычислению расстояния по формуле.
Для упрощения расчетов можно использовать метод подстановки или метод Гаусса, а также круговую зависимость графиков этих функций и использование графического метода решения этой системы уравнений. Это позволит упростить вычисления и получить численное значение расстояния СС₁.