Какова высота описанного конуса, объем которого в два раза превышает объем шара радиуса

Zolotoy_Korol

33

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулы для объемов конуса и шара. Начнем с того, что у нас есть шар радиуса \(r\).

Объем шара можно найти, используя формулу:
\[V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Поскольку у нас объем шара в два раза меньше, чем объем конуса, мы можем записать уравнение:
\[2V_{\text{шара}} = V_{\text{конуса}}\]

Теперь мы перейдем к формуле для объема конуса. Объем конуса можно найти, используя следующую формулу:
\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]

Здесь \(h\) - это высота конуса, которую мы и хотим найти.

Теперь, когда у нас есть уравнение для объемов шара и конуса, мы можем подставить его в формулу для объема конуса:
\[2V_{\text{шара}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]

Чтобы найти высоту конуса, давайте избавимся от всех постоянных значений и рассмотрим выражение:
\[2 (\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]

Сокращаем константы:
\[\frac{8}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]

Теперь можем сократить обе стороны на \(\frac{1}{3}\pi r^2\):
\[\frac{8}{3}r = h\]

Таким образом, высота описанного конуса равна \(\frac{8}{3}r\).

Мы используем формулы объема конуса и шара, даем пояснения по каждому шагу и даем подробное решение, чтобы решение было понятным для школьника.