Каков периметр прямоугольника, образованного вершинами, взятыми на каждой стороне квадрата, при условии

Skat

23

Для решения этой задачи введем несколько обозначений. Обозначим сторону квадрата через \(a\), а длину диагонали через \(d\). Задача состоит в определении периметра прямоугольника, образованного вершинами, которые находятся на каждой стороне квадрата и являются параллельными диагоналям.

Заметим, что полученный прямоугольник является прямоугольником с диагоналями, параллельными диагоналям квадрата. Таким образом, мы можем воспользоваться свойствами подобных фигур.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого катеты равны стороне квадрата (\(a\)). По теореме Пифагора для этого треугольника, гипотенуза (\(d\)) и один из катетов (\(a\)) связаны следующим соотношением:

\[d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\]

Выразим сторону квадрата через длину диагонали:

\[a = \frac{d}{\sqrt{2}}\]

Теперь, чтобы найти периметр прямоугольника, нам необходимо сложить все его стороны. Поскольку у прямоугольника две пары параллельных сторон, каждая пара состоит из двух равных сторон. Поэтому периметр прямоугольника равен:

\[P = 2a + 2a = 4a\]

Подставим выражение для стороны квадрата:

\[P = 4\left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)\]

Таким образом, периметр прямоугольника, образованного вершинами, взятыми на каждой стороне квадрата, при условии, что его стороны параллельны диагоналям квадрата и длина диагонали равна \(d\), равен \(4\left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)\).