На отрезке bc треугольника abc выбрали точку d. Установили, что ∠bac: ∠adc: ∠acb=3: 2: 1. Найдите длину отрезка

Panda

43

Для решения этой задачи нам необходимо использовать правило трёх углов в треугольнике.

1. Начнем с того, что углы \(\angle BAC\), \(\angle ADC\) и \(\angle ACB\) образуют пропорции 3:2:1. Нам дано, что \(AB = 11\) и \(BC = 19\).

2. Сначала найдем угол \(\angle BAC\). Сумма всех углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), так как у нас треугольник \(ABC\). Поскольку угол \(\angle ACB\) равен 1 части (из пропорций), угол \(\angle BAC = 3\) части и угол \(\angle ADC = 2\) части.

3. Из пропорции мы можем определить следующее:
\[\angle BAC = 3x, \angle ADC = 2x, \angle ACB = x\]

4. Теперь, найдем угол \(\angle BAC\):
\[3x + 2x + x = 180^{\circ}\]
\[6x = 180^{\circ}\]
\[x = 30^{\circ}\]

5. Теперь мы знаем, что \(\angle BAC = 90^{\circ}\), \(\angle ADC = 60^{\circ}\), и \(\angle ACB = 30^{\circ}\).

6. Мы можем применить Закон синусов для треугольника \(ABC\), чтобы найти длину отрезка \(AD\). Закон синусов выглядит следующим образом:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

7. Здесь \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника, \(A\), \(B\) и \(C\) - их противолежащие углы. В нашем случае, мы ищем длину отрезка \(AD\), так что это будет \(a\), \(b = AB\), \(c = BC\) и угол против \(AD\) равен \(\angle ABC\).

8. Подставляя значения, получаем:
\[\frac{AD}{\sin 30^{\circ}} = \frac{11}{\sin 60^{\circ}} = \frac{19}{\sin 90^{\circ}}\]

9. Так как \(\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}\), \(\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), и \(\sin 90^{\circ} = 1\), мы можем выразить длину отрезка \(AD\):
\[\frac{AD}{\frac{1}{2}} = \frac{11}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]
\[AD = \frac{11}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{22}{\sqrt{3}} = \frac{22\sqrt{3}}{3}\]

Итак, длина отрезка \(AD\) равна \(\frac{22\sqrt{3}}{3}\) (единицы измерения).