На протязі якого максимального періоду часу територія повинна вважатися зараженою, якщо виявлено проміння альфа

Volk

62

Для решения этой задачи нам понадобится использовать понятие периода полураспада. Период полураспада (обозначается как \(T_{1/2}\)) - это время, за которое количество радиоактивного вещества уменьшается вдвое.

У нас дан период полураспада для урана-232, который составляет 70 лет. Это означает, что каждые 70 лет количество урана-232 уменьшается вдвое.

Согласно условию задачи, превышение уровня альфа-вылучения составляет 16 раз. Это значит, что мы должны определить, через какой период времени количество урана уменьшится в 16 раз.

Давайте рассчитаем, сколько периодов полураспада должно пройти, чтобы количество урана уменьшилось в 16 раз. Для этого мы можем использовать формулу:

\[N = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\]

где:
\(N\) - конечное количество урана,
\(N_0\) - начальное количество урана (в нашем случае равно 1),
\(t\) - время, в течение которого происходит радиоактивный распад,
\(T_{1/2}\) - период полураспада.

Ок, мы знаем, что через один период полураспада количество урана уменьшается вдвое. Так что, через один период, \(N = 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = \frac{1}{2}\).

Через два периода, \(N = 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}\).

Через три периода, \(N = 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}\).

И так далее.

Давайте продолжим выполнять подобные вычисления, пока количество урана не уменьшится в 16 раз.

\[16 = 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n\]

Где \(n\) - количество периодов полураспада.

Чтобы решить это уравнение, мы возьмем логарифм от обеих сторон:

\[\log\left(16\right) = \log\left(1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)\]

\[\log\left(16\right) = \log\left(1\right) + n \log\left(\frac{1}{2}\right)\]

Так как \(\log(1) = 0\), выражение упрощается:

\[\log\left(16\right) = n \log\left(\frac{1}{2}\right)\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(n\):

\[n = \frac{\log\left(16\right)}{\log\left(\frac{1}{2}\right)}\]

Используя калькулятор, мы получим:

\[n \approx 4\]

Таким образом, для того чтобы количество урана уменьшилось в 16 раз, должно пройти примерно 4 периода полураспада урана-232.

Теперь, чтобы определить максимальное время, в течение которого территория должна считаться зараженной, нужно умножить период полураспада на количество периодов:

\[T_{\text{макс}} = T_{1/2} \times n\]

\[T_{\text{макс}} = 70 \times 4\]

\[T_{\text{макс}} = 280\]

Таким образом, максимальный период времени, в течение которого территория должна считаться зараженной, составляет 280 лет.