На сколько максимальное число задач должен учитель задать на дом, чтобы гарантированно кто-то получил двойку в классе

Zvonkiy_Spasatel

40

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться методом противоречия. Мы должны найти такое максимальное число задач, чтобы гарантированно хотя бы один ученик получил двойку.

Предположим, что каждый ученик выполнил \(n\) задач. Вероятность получения двойки одним учеником равна \(p = \frac{1}{n}\), так как есть только один способ получить двойку из всех возможных оценок (например, от 1 до 10). Вероятность того, что ни один ученик не получит двойку, равна \((1-p)^{40}\).

Чтобы гарантировать, что хотя бы один ученик получит двойку, вероятность того, что все ученики получат хотя бы тройку, должна быть меньше 1. То есть, нам нужно найти такое минимальное число \(n\), чтобы \((1-p)^{40} < 1\).

Вычислим эту вероятность для разных значений \(n\):

\[
(1-\frac{1}{n})^{40}
\]

\[
\begin{align*}
n = 1, &(1-\frac{1}{1})^{40} = 0 \\
n = 2, &(1-\frac{1}{2})^{40} \approx 0,027 \\
n = 3, &(1-\frac{1}{3})^{40} \approx 0,023 \\
n = 4, &(1-\frac{1}{4})^{40} \approx 0,021 \\
n = 5, &(1-\frac{1}{5})^{40} \approx 0,020 \\
n = 6, &(1-\frac{1}{6})^{40} \approx 0,019 \\
\end{align*}
\]

Мы можем продолжать вычисления для большего количества значений \(n\), но видно, что при \(n \geq 6\) вероятность получения двойки становится уже очень низкой (меньше 0,019), что позволяет гарантированно сказать, что в классе из 40 учеников хотя бы один получит двойку.

Таким образом, максимальное число задач, которое учитель может задать на дом, чтобы гарантированно кто-то получил двойку, равно 6.