На сколько нужно изменить индуктивность катушки, чтобы сохранить частоту колебаний в контуре неизменной, если

Черешня

17

Чтобы решить данную задачу, необходимо использовать формулу для резонансной частоты колебаний \(f\) в контуре, которая выражается через индуктивность \(L\) и емкость \(C\) следующим образом:

\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

Задача заключается в том, чтобы определить, как изменяется индуктивность катушки \(L\), чтобы частота \(f\) оставалась неизменной при уменьшении электроемкости конденсатора \(C\) вдвое.

Исходно у нас есть два случая: исходная емкость \(C_1\) и исходная индуктивность \(L_1\), а также новая емкость \(C_2 = \frac{C_1}{2}\).

Раз оставляем частоту колебаний неизменной, мы можем записать равенство формул для двух случаев:

\[\frac{1}{2\pi\sqrt{L_1C_1}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_2C_2}}\]

Подставим значение новой емкости в формулу и преобразуем уравнение:

\[\frac{1}{2\pi\sqrt{L_1C_1}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_2\left(\frac{C_1}{2}\right)}}\]

Далее упростим выражение:

\[\frac{1}{\sqrt{L_1C_1}} = \frac{1}{\sqrt{L_2\left(\frac{C_1}{2}\right)}}\]

Теперь избавимся от знаменателей, возвести обе части в квадрат и сократим:

\[2L_2 = L_1\]

Таким образом, чтобы сохранить частоту колебаний неизменной при уменьшении электроемкости конденсатора вдвое, индуктивность катушки должна быть удвоена.