На сколько процентов нужно снизить температуру холодильника идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, чтобы

Турандот

62

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте сначала вспомним, что такое КПД (коэффициент полезного действия) тепловой машины. КПД тепловой машины определяется отношением полезной работы, которую она выполняет, к энергии, которую она получает от нагревателя. Выражается это так:

\[ КПД = \frac{{\text{{полезная работа}}}}{{\text{{полученная энергия}}}} \]

Теперь, чтобы увеличить КПД вдвое при неизменной температуре нагревателя, нам нужно снизить температуру холодильника на определенный процент. Давайте обозначим исходную температуру холодильника как \(T_C\) и исходную температуру нагревателя как \(T_H\).

Известно, что КПД Карно можно выразить через температуры нагревателя и холодильника следующим образом:

\[ КПД_{\text{{Карно}}} = 1 - \frac{{T_C}}{{T_H}} \]

Так как нам нужно увеличить КПД вдвое, мы можем записать:

\[ 2 \cdot КПД_{\text{{Карно}}} = 1 - \frac{{T_C"}}{{T_H}} \]

Где \(T_C"\) - новая температура холодильника после снижения.

Теперь давайте решим уравнение для \(T_C"\):

\[ 2 \cdot \left( 1 - \frac{{T_C}}{{T_H}} \right) = 1 - \frac{{T_C"}}{{T_H}} \]

Раскроем скобки:

\[ 2 - \frac{{2 \cdot T_C}}{{T_H}} = 1 - \frac{{T_C"}}{{T_H}} \]

Перенесем все, что содержит \(T_C"\) влево, а остальные члены вправо:

\[ \frac{{2 \cdot T_C}}{{T_H}} - \frac{{T_C"}}{{T_H}} = 1 - 2 \]

Сократим дроби:

\[ T_C - T_C" = T_H - 2 \cdot T_C \]

Перенесем член \(T_C"\) влево и \(T_H\) вправо:

\[ T_C" = T_C - T_H + 2 \cdot T_C \]

Сократим еще раз:

\[ T_C" = 3 \cdot T_C - T_H \]

Таким образом, чтобы увеличить КПД вдвое при неизменной температуре нагревателя, нужно снизить температуру холодильника до значения \(3 \cdot T_C - T_H\). Найдя это значение исходя из изначальных данных, можно получить ответ на задачу.