На сколько крат уменьшается радиус планеты по сравнению с радиусом Земли, если при одинаковой плотности значение

Артемовна_802

13

Хорошо, давайте рассмотрим данную задачу.

Для начала, нам необходимо знать, как связано ускорение свободного падения, радиус и плотность планеты. Воспользуемся законом всемирного тяготения, который гласит, что ускорение свободного падения на планете определяется формулой:

\[a = \frac{{G \cdot M}}{{r^2}},\]

где \(a\) - ускорение свободного падения на планете, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты, \(r\) - радиус планеты.

В данной задаче у нас задано значение ускорения свободного падения \(a = 4 \, \text{м/с}^2\). Также нам дано, что плотность нашей планеты остается одинаковой. Это означает, что планеты имеют одинаковый относительный объем массы (т.е. одинаковое соотношение \(\frac{M}{V}\), где \(M\) - масса, а \(V\) - объем). Плотность определяется как:

\[\rho = \frac{M}{V}.\]

С помощью этой формулы мы можем выразить массу \(M\):

\[M = \rho \cdot V.\]

Теперь сравним две планеты, Землю (планета 1) и планету с неизвестным радиусом (планета 2). Ускорение свободного падения на Земле равно \(a_1 = 9.8 \, \text{м/с}^2\), а на планете 2 \(a_2 = 4 \, \text{м/с}^2\).

Таким образом, у нас есть два уравнения:

\[\frac{{G \cdot M_1}}{{r_1^2}} = a_1,\]
\[\frac{{G \cdot M_2}}{{r_2^2}} = a_2.\]

Мы хотим найти отношение радиусов \(k = \frac{{r_2}}{{r_1}}\) (насколько крат уменьшается радиус планеты 2 по сравнению с Землей).

Мы также знаем, что \(\frac{{M_1}}{{V_1}} = \frac{{M_2}}{{V_2}}\). Так как плотность не меняется, мы можем записать:

\[\frac{{M_1}}{{\frac{4}{3} \pi r_1^3}} = \frac{{M_2}}{{\frac{4}{3} \pi r_2^3}}.\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(M_1\) и \(M_2\)). Мы можем попробовать сократить эти уравнения. Разделим первое уравнение на второе:

\[\frac{{\frac{{G \cdot M_1}}{{r_1^2}}}}{{\frac{{G \cdot M_2}}{{r_2^2}}}} = \frac{{a_1}}{{a_2}}.\]

Сократим \(G\):

\[\frac{{\frac{{M_1}}{{r_1^2}}}}{{\frac{{M_2}}{{r_2^2}}}} = \frac{{a_1}}{{a_2}}.\]

Подставим выражение для массы из формулы плотности:

\[\frac{{\frac{{\rho \cdot V_1}}{{r_1^2}}}}{{\frac{{\rho \cdot V_2}}{{r_2^2}}}} = \frac{{a_1}}{{a_2}}.\]

Сокращаем плотность и выражаем объемы:

\[\frac{{\frac{1}{{r_1^2}} \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3}}{{\frac{1}{{r_2^2}} \cdot \frac{4}{3} \pi r_2^3}} = \frac{{a_1}}{{a_2}}.\]

Упрощаем:

\[\frac{{r_2^3}}{{r_1^3}} = \frac{{a_1}}{{a_2}}.\]

Теперь можно найти выражение для отношения радиусов \(k\):

\[k^3 = \frac{{a_1}}{{a_2}}.\]

Возведем обе части уравнения в степень \(\frac{1}{3}\):

\[k = \left(\frac{{a_1}}{{a_2}}\right)^{\frac{1}{3}}.\]

Подставим значения \(a_1 = 9.8 \, \text{м/с}^2\) и \(a_2 = 4 \, \text{м/с}^2\):

\[k = \left(\frac{{9.8}}{{4}}\right)^{\frac{1}{3}}.\]

Рассчитаем это значение:

\[k \approx 1.436.\]

Таким образом, радиус планеты 2 уменьшается примерно в 1.436 раза по сравнению с радиусом Земли.

Надеюсь, данное объяснение ясно описывает решение задачи и позволяет понять школьнику все шаги, которые мы выполнили. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!