На сколько существует натуральных чисел N, больших 700, таких что среди чисел 3N, N−700, N+35, 2N имеется ровно

Шерлок

10

Чтобы решить эту задачу, давайте пошагово анализировать каждое из заданных условий.

Условие говорит, что среди чисел 3N, N−700, N+35 и 2N должно быть два четырехзначных числа.

Давайте начнем с условия, требующего наличия ровно двух четырехзначных чисел.

Четырехзначные числа - это числа, состоящие из четырех цифр. Диапазон четырехзначных чисел - это от 1000 до 9999.

Поехали дальше!

Распишем каждое из четырех чисел, указанных в условии, используя обозначенные переменные:

1. 3N
2. N−700
3. N+35
4. 2N

Мы хотим найти значения N, для которых среди этих четырех чисел ровно два числа являются четырехзначными.

Давайте рассмотрим первое число, 3N.

Поскольку нас интересуют только четырехзначные числа, можно написать неравенство:

1000 ≤ 3N ≤ 9999

Разделим неравенство на 3:

\( \frac{1000}{3} ≤ N ≤ \frac{9999}{3} \)

\(\frac{1000}{3} \approx 333.33\) и \(\frac{9999}{3} \approx 3333\)

Таким образом, у нас есть промежуток значений для N: от около 333 до около 3333.

Поехали дальше!

Теперь рассмотрим второе число, N−700.

Мы хотим, чтобы оно было четырехзначным:

1000 ≤ N−700 ≤ 9999

Добавим 700 ко всем частям неравенства:

1000 + 700 ≤ N−700 + 700 ≤ 9999 + 700

1700 ≤ N ≤ 10699

Таким образом, у нас есть еще один промежуток значений для N: от 1700 до 10699.

Поехали дальше!

Теперь рассмотрим третье число, N+35.

Мы хотим, чтобы оно было четырехзначным:

1000 ≤ N+35 ≤ 9999

Вычтем 35 из всех частей неравенства:

1000 - 35 ≤ N+35 - 35 ≤ 9999 - 35

965 ≤ N ≤ 9964

Таким образом, у нас есть третий промежуток значений для N: от 965 до 9964.

Поехали дальше!

Теперь рассмотрим четвертое число, 2N.

Мы хотим, чтобы оно было четырехзначным:

1000 ≤ 2N ≤ 9999

Разделим неравенство на 2:

\( \frac{1000}{2} ≤ N ≤ \frac{9999}{2} \)

500 ≤ N ≤ 4999

Таким образом, у нас есть четвертый промежуток значений для N: от 500 до 4999.

Поехали дальше!

Теперь, чтобы найти значения N, удовлетворяющие условию задачи, мы должны найти пересечение всех четырех промежутков значений для N:

Наше итоговое промежуток значений для N: от максимального значения \( \text{max}(333, 1700, 965, 500) \) до минимального значения \( \text{min}(3333, 10699, 9964, 4999) \).

\( \text{max}(333, 1700, 965, 500) = 1700 \)

\( \text{min}(3333, 10699, 9964, 4999) = 3333 \)

Таким образом, итоговое промежуток значений для N: от 1700 до 3333.

Очень важно отметить, что на данном этапе мы нашли интервал значений, удовлетворяющих условиям задачи. Чтобы узнать, сколько чисел N находится в этом интервале, мы можем выполнить дополнительные вычисления:

\(\text{Количество чисел N} = \text{Количество натуральных чисел в интервале} = 3333 - 1700 + 1 = 1634\)

Таким образом, существует 1634 натуральных числа N, больших 700, для которых среди чисел 3N, N−700, N+35 и 2N есть ровно два четырехзначных числа.

Итак, ответ на задачу составляет 1634.