На сколько увеличится центростремительное ускорение точек обода колеса, если его период обращения уменьшится в 5 раз?

Egor

63

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о центростремительном ускорении и его связи с периодом обращения.

Центростремительное ускорение (a) — это ускорение, направленное к центру окружности при движении точки по окружности. Оно выражается формулой:

\[ a = \frac{{v^2}}{r} \]

где v - скорость точки, r - радиус окружности.

Период обращения (T) - это время, за которое точка проходит один полный оборот по окружности. Период обращения можно выразить через скорость (v) и длину окружности (C) следующей формулой:

\[ T = \frac{{C}}{{v}} \]

где C - длина окружности, вычисляется по формуле: \( C = 2 \pi r \)

Исходя из условия задачи, период обращения уменьшается в 5 раз. То есть, новый период обращения (T") будет равен исходному периоду (T) разделенному на 5:

\[ T" = \frac{{T}}{5} \]

На основании этого, мы можем выразить новую скорость (v") через новый период (T") и длину окружности (C):

\[ v" = \frac{{C}}{{T"}} \]

Длина окружности (C) остается неизменной и равна C = 2πr.

Теперь, мы можем сравнить центростремительные ускорения точек обода колеса.

Первоначальное центростремительное ускорение (a) для исходного периода (T) и радиуса (r):

\[ a = \frac{{v^2}}{r} = \frac{{(C/T)^2}}{r} = \frac{{(2πr/T)^2}}{r} = \frac{{4π^2r}}{{T^2}} \]

Новое центростремительное ускорение (a") для нового периода (T") и радиуса (r):

\[ a" = \frac{{v"^2}}{r} = \frac{{(C/T")^2}}{r} = \frac{{(2πr/T")^2}}{r} = \frac{{4π^2r}}{{T"^2}} \]

Подставив значение нового периода (T") из предыдущего выражения, получим:

\[ a" = \frac{{4π^2r}}{{(T/5)^2}} = \frac{{4π^2r}}{{T^2/25}} = \frac{{100π^2r}}{{T^2}} \]

Таким образом, центростремительное ускорение точек обода колеса увеличится в 100π^2 раз, когда период обращения колеса уменьшается в 5 раз.

Надеюсь, ответ был понятен! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!