На вертикально расположенной пружине висит металлический шарик массой 0,2 кг. Когда гармоническая вынуждающая сила

Lapka

33

Дано:
Масса шарика \(m = 0,2\) кг
Амплитуда гармонической силы \(A = 0,2\) Н
Увеличение длины пружины \(\Delta l = 0,2\) м
Масса пружины пренебрежимо мала (\(M \approx 0\))
Коэффициент затухания \(\beta = 1\) рад/с

Искомые значения:
Циклическая частота вынуждающей силы \(\Omega\)
Значение амплитуды вынужденных колебаний \(A_{\text{макс}}\)

Для начала, давайте вспомним формулу циклической частоты вынужденных колебаний, которая связывает ее с амплитудой вынуждающей силы и ее массой:

\(\Omega = \frac{F}{m}\), где \(F\) - амплитуда гармонической силы, \(m\) - масса шарика.

Так как нам дана амплитуда силы, мы можем воспользоваться этой формулой, чтобы найти циклическую частоту вынуждающей силы:

\(\Omega = \frac{A}{m} = \frac{0,2 \, \text{Н}}{0,2 \, \text{кг}} = 1 \, \text{рад/с}\)

Теперь, чтобы найти значение амплитуды вынужденных колебаний при заданном коэффициенте затухания, мы можем использовать формулу:

\(A_{\text{макс}} = \frac{A}{\sqrt{1 - (\frac{\beta}{\Omega})^2}}\)

Подставим значения и вычислим:

\(A_{\text{макс}} = \frac{0,2 \, \text{Н}}{\sqrt{1 - (\frac{1 \, \text{рад/с}}{1 \, \text{рад/с}})^2}} = \frac{0,2 \, \text{Н}}{\sqrt{1 - 1}} = \frac{0,2 \, \text{Н}}{\sqrt{0}} = \frac{0,2 \, \text{Н}}{0} = \infty\)

Получаем, что при заданном коэффициенте затухания \(\beta = 1\) рад/с, амплитуда вынужденных колебаний \(A_{\text{макс}}\) является бесконечной.

Однако, стоит обратить внимание на такой результат. Бесконечное значение амплитуды означает, что система будет испытывать резонанс, что может привести к разрушению шарика или пружины. В реальной жизни такая ситуация не могла бы произойти, и это говорит о том, что предположение о пренебрежении массой пружины может быть некорректным.