На якій відстані від лінзи слід розташувати предмет заввишки 2 см, щоб отримати звузене зображення заввишки?

Zvezdnyy_Lis

57

Чтобы рассчитать на каком расстоянии от линзы нужно разместить предмет высотой 2 см, чтобы получить суженное изображение высотой h", мы можем использовать формулу линзы:

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\)

где f - фокусное расстояние линзы, d_o - расстояние от предмета до линзы, d_i - расстояние от линзы до изображения.

Для сужения изображения (h" < h) нам нужно, чтобы d_o было больше, чем фокусное расстояние линзы (d_o > f).

Таким образом, нам нужно найти значение d_o, при условии, что h" = 2 см и f известно.

Подставляя известные значения в формулу линзы, мы можем переписать ее:

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\)

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_o - h"}\)

С помощью алгебры, мы можем решить эту уравнение относительно d_o.

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_o - h"}\)

\(\frac{1}{f} = \frac{(d_o - h") + d_o}{d_o(d_o - h")}\)

\(\frac{1}{f} = \frac{2d_o - h"}{d_o^2 - d_oh"}\)

Умножим обе части уравнения на \(d_o^2 - d_oh"\) чтобы избавиться от дроби:

\(d_o^2 - d_oh" = (2d_o - h")f\)

Теперь, раскроем скобку и упростим уравнение:

\(d_o^2 - d_oh" = 2d_of - h"f\)

\(d_o^2 - 2d_of + h"f - d_oh" = 0\)

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить используя дискриминант:

\(D = (2f)^2 - 4(-f)(-h")\)

\(D = 4f^2 - 4fh"\)

Если дискриминант D > 0, то уравнение имеет два корня, иначе - только один корень.

Теперь давайте рассмотрим два случая:

1. Если D > 0:
Дискриминант больше нуля, что означает, что у уравнения есть два действительных корня. Если предмет располагается на расстоянии do1 от линзы, мы получим суженное изображение изображение высотой h"1, а если предмет располагается на расстоянии do2, мы получим суженное изображение высотой h"2.

2. Если D = 0:
Дискриминант равен нулю, и у уравнения есть только один действительный корень. В этом случае, расстояние do будет единственным расстоянием, на котором предмет может быть размещен, чтобы получить суженное изображение высотой h".

Таким образом, для решения задачи, нам нужно знать фокусное расстояние линзы f и высоту суженного изображения h", чтобы рассчитать расстояние do от линзы до предмета. Кроме того, если дискриминант D > 0, мы можем рассчитать два возможных значения do, иначе - только одно возможное значение.