На якій висоті камінь віддалять без будь-якої швидкості з висоти 30 м порівняно з висотою, де його кінетична енергія

Malysh_6725

28

Для решения данной задачи нам необходимо использовать принцип сохранения механической энергии, который гласит, что сумма кинетической и потенциальной энергии тела остается постоянной.

В данной задаче ищется та высота, на которой кинетическая энергия камня будет вдвое больше его потенциальной энергии. Пусть эта высота равна \(h\).

На высоте \(h\) потенциальная энергия камня равна \(mgh\), где \(m\) - масса камня, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Кинетическая энергия камня на этой же высоте будет равна \(\frac{1}{2}mv^2\), где \(v\) - скорость камня на высоте \(h\).

Из условия задачи известно, что кинетическая энергия вдвое больше потенциальной. Поэтому можем записать следующее уравнение:

\[
\frac{1}{2}mv^2 = 2mgh
\]

Упростим это уравнение:

\[
v^2 = 4gh
\]

Теперь нам нужно выразить скорость \(v\) через известные величины. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии:

\[
\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2
\]

где \(v_1\) и \(h_1\) - начальная скорость и высота камня соответственно, а \(v_2\) и \(h_2\) - конечная скорость и высота камня.

Так как начальная скорость равна 0 (камень отдаляется без какой-либо скорости), а начальная высота равна 30 м, можем записать следующее уравнение:

\[
mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2
\]

Подставим в это уравнение известные значения:

\[
mg \cdot 30 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh
\]

Выразим высоту \(h\) через заданное условие:

\[
h = \frac{h_1}{2}
\]

Подставим это значение в уравнение:

\[
30g = \frac{1}{2}v_2^2 + \frac{1}{2}h_1g
\]

Упростим:

\[
30g = \frac{1}{2}v_2^2 + 15g
\]

Вычтем \(15g\) из обоих частей уравнения:

\[
15g = \frac{1}{2}v_2^2
\]

Умножим обе части на \(\frac{2}{g}\) для упрощения:

\[
30 = v_2^2
\]

Из уравнения выше видно, что \(v_2 = \sqrt{30}\).

Теперь, зная скорость \(v_2\), можем вычислить высоту \(h\) через уравнение \(v^2 = 4gh\):

\[
30 = 4gh
\]

\[
h = \frac{30}{4g} = \frac{15}{2g}
\]

Итак, камень будет отдаляться без какой-либо скорости на высоте \(h = \frac{15}{2g}\). Учитывая, что ускорение свободного падения \(g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2\), можно подставить это значение:

\[
h \approx \frac{15}{2 \cdot 9.8} \approx 0.765 \, \text{м}
\]

Таким образом, камень будет отдаляться без скорости на высоте примерно равной 0.765 метра.