На якій висоті кінетична енергія кішки буде двічі більшою за потенціальну, коли вона зістрибне зі шафи заввишки

Lesnoy_Duh_3260

14

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы для кинетической и потенциальной энергии.

Кинетическая энергия ( \(E_{\text{кин}}\) ) вычисляется по формуле:

\[E_{\text{кин}} = \frac{m \cdot v^2}{2}\]

где \(m\) - масса предмета, \(v\) - его скорость.

Потенциальная энергия ( \(E_{\text{пот}}\) ) вычисляется по формуле:

\[E_{\text{пот}} = m \cdot g \cdot h\]

где \(m\) - масса предмета, \(g\) - ускорение свободного падения (\(9,8 \, м/с^2\)), \(h\) - высота.

Из условия задачи нам известно, что кинетическая энергия кота будет дважды больше потенциальной энергии в момент, когда он спрыгнет с шкафа высотой 1,5 м. Обозначим неизвестную высоту, на которой кинетическая энергия станет дважды больше потенциальной, как \(h"\). Тогда, по условию, нам дано:

\[E_{\text{кин, исх}}} = 2 \cdot E_{\text{пот, исх}}\]

Мы можем выразить \(E_{\text{кин, исх}}\) и \(E_{\text{пот, исх}}\) через массу кота (\(m\)) и его исходную высоту (\(h_{\text{исх}}\)):

\[E_{\text{кин, исх}}} = \frac{m \cdot v_{\text{исх}}^2}{2} = 0\]
\[E_{\text{пот, исх}} = m \cdot g \cdot h_{\text{исх}}\]
\[2 \cdot m \cdot g \cdot h_{\text{исх}} = \frac{m \cdot v_{\text{исх}}^2}{2}\]

Масса кота (\(m\)) сокращается, и мы получаем:

\[2 \cdot g \cdot h_{\text{исх}} = \frac{v_{\text{исх}}^2}{2}\]

Мы также можем выразить исходную скорость (\(v_{\text{исх}}\)) через начальную высоту:

\[v_{\text{исх}} = \sqrt{2 \cdot g \cdot h_{\text{исх}}}\]

Теперь мы можем использовать это выражение для \(v_{\text{исх}}\) и подставить обратно в уравнение для потенциальной энергии:

\[2 \cdot g \cdot h" = \frac{(2 \cdot g \cdot h_{\text{исх}})^2}{2}\]

Мы можем упростить это уравнение:

\[2 \cdot g \cdot h" = 2 \cdot g^2 \cdot h_{\text{исх}}^2\]
\[h" = \frac{g \cdot h_{\text{исх}}^2}{g}\]
\[h" = h_{\text{исх}}^2\]

Таким образом, высота, на которой кинетическая энергия кота будет дважды больше потенциальной энергии, равна квадрату начальной высоты. В данном случае, если исходная высота \(h_{\text{исх}}\) равна 1,5 метра, то:

\[h" = (1,5 \, м)^2 = 2,25 \, метра\]

Таким образом, кинетическая энергия кота будет в два раза больше его потенциальной энергии на высоте 2,25 метра, когда он спрыгнет с шкафа.