На якій висоті потенціальна енергія кульки зменшиться вдвічі порівняно з кінетичною, якщо вона без початкової швидкості
На якій висоті потенціальна енергія кульки зменшиться вдвічі порівняно з кінетичною, якщо вона без початкової швидкості почала вільно падати з висоти 30 м?
Ягненок_4876 11
Для розв"язання задачі визначимо початкові значення потенціальної та кінетичної енергій кульки.Потенціальна енергія, \(E_{\text{п}}\), залежить від висоти, \(h\), і маси кульки, \(m\), і визначається формулою:
\[E_{\text{п}} = mgh,\]
де \(g\) - прискорення вільного падіння, \(g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2\).
Запишемо вираз для значення потенціальної енергії кульки без початкової швидкості:
\[E_{\text{п1}} = mgh.\]
Кінетична енергія, \(E_{\text{к}}\), залежить від маси кульки, \(m\), та її швидкості, \(v\), і визначається формулою:
\[E_{\text{к}} = \frac{1}{2} mv^2.\]
Оскільки кулька почала вільно падати без початкової швидкості, вона набуває швидкість падіння на відповідній висоті.
Щоб знайти висоту, на якій потенціальна енергія зменшиться вдвічі порівняно з кінетичною, розпишемо вираз для кінетичної енергії при цьому значенні:
\[E_{\text{к}} = \frac{1}{2} mv^2,\]
\[E_{\text{п1}} = 2E_{\text{к}} = 2 \cdot \frac{1}{2} mv^2,\]
\[mgh = mv^2.\]
З цього рівняння знайдемо вираз для швидкості:
\[v^2 = gh,\]
\[v = \sqrt{gh}.\]
Тепер, коли відома швидкість, можемо визначити висоту:
\[E_{\text{п2}} = mgh" = \frac{1}{2} m \cdot (\sqrt{gh})^2,\]
\[E_{\text{п2}} = mgh" = \frac{1}{2} mgh,\]
\[h" = \frac{1}{2} h.\]
Отже, висота, на якій потенціальна енергія кульки зменшиться вдвічі порівняно з кінетичною, становить половину висоти, з якої починається її падіння без початкової швидкості.