На якій висоті сила притягання гравітації до космонавта зменшиться у 9 разів?

Musya

29

Чтобы найти высоту, на которой сила притяжения гравитации до космонавта уменьшится в 9 раз, мы можем использовать закон всемирного тяготения Ньютона.

Согласно этому закону, сила притяжения \(F\) между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс \(m_1\) и \(m_2\) и обратно пропорциональна квадрату расстояния \(r\) между ними:

\[F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где \(G\) - гравитационная постоянная.

В данной задаче нам известно, что сила притяжения уменьшается в 9 раз. Обозначим исходную высоту на которой действует сила притяжения \(r_1\) и новую высоту, на которой мы ищем силу притяжения \(r_2\). Также обозначим исходную силу притяжения \(F_1\) и новую силу притяжения \(F_2\).

Мы можем записать следующие соотношения:

\[F_2 = \frac{1}{9} F_1\]

\[F_1 = G \cdot \frac{{m \cdot m_2}}{{r_1^2}}\]

\[F_2 = G \cdot \frac{{m \cdot m_2}}{{r_2^2}}\]

Подставляя значение \(F_1\) в первое уравнение, получим:

\[G \cdot \frac{{m \cdot m_2}}{{r_2^2}} = \frac{1}{9} G \cdot \frac{{m \cdot m_2}}{{r_1^2}}\]

Сокращаем гравитационную постоянную \(G\), массы \(m\) и \(m_2\), получаем:

\[\frac{1}{{r_2^2}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{r_1^2}}\]

Чтобы избавиться от дроби, возведем обе части уравнения в степень -2:

\[r_2^2 = 9 \cdot r_1^2\]

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:

\[r_2 = 3 \cdot r_1\]

Таким образом, высота, на которой сила притяжения гравитации уменьшится в 9 раз, будет равна трём исходным высотам.