На якій висоті сила притягання гравітації до космонавта зменшиться у 9 разів?

Musya

29

Чтобы найти высоту, на которой сила притяжения гравитации до космонавта уменьшится в 9 раз, мы можем использовать закон всемирного тяготения Ньютона.

Согласно этому закону, сила притяжения $F$ между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс $m_1$ и $m_2$ и обратно пропорциональна квадрату расстояния $r$ между ними:

$$F=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$$

где $G$ - гравитационная постоянная.

В данной задаче нам известно, что сила притяжения уменьшается в 9 раз. Обозначим исходную высоту на которой действует сила притяжения $r_1$ и новую высоту, на которой мы ищем силу притяжения $r_2$. Также обозначим исходную силу притяжения $F_1$ и новую силу притяжения $F_2$.

Мы можем записать следующие соотношения:

$$F_2=\frac{1}{9}{F}_1$$

$$F_1=G\cdot \frac{m\cdot m_2}{r_1^2}$$

$$F_2=G\cdot \frac{m\cdot m_2}{r_2^2}$$

Подставляя значение $F_1$ в первое уравнение, получим:

$$G\cdot \frac{m\cdot m_2}{r_2^2}=\frac{1}{9}G\cdot \frac{m\cdot m_2}{r_1^2}$$

Сокращаем гравитационную постоянную $G$, массы $m$ и $m_2$, получаем:

$$\frac{1}{r_2^2}=\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{r_1^2}$$

Чтобы избавиться от дроби, возведем обе части уравнения в степень -2:

$$r_2^2=9\cdot r_1^2$$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:

$$r_2=3\cdot r_1$$

Таким образом, высота, на которой сила притяжения гравитации уменьшится в 9 раз, будет равна трём исходным высотам.